Билинейность

2. билинейность

, .

Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что

.

Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов.  

или в более общем виде

. (9.1)

2. Обобщенная теорема Пифагора. Если , то

.

Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.

3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции  и  непрерывны, то .

В самом деле, если , то  на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число  очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где  и , имеем

.

Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций

 (9.2)

ортогональна на промежутке . Сопоставим функции  ее ряд Фурье

 (9.3)

где коэффициенты Фурье

.

Введем обозначения:  – частичная сумма ряда Фурье;  – произвольная линейная комбинация функций  где .

Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство

 (9.4)

где , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций  функция  дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .

Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3:

а) если для некоторой функции  выполняется равенство Парсеваля

, (9.5)

то ряд (9.3) сходится в среднем к , т.е. ;

б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке , если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .

Введем в рассмотрение систему комплексных функций

. (9.6)

 

Свойства системы функции (9.6) следующие:

1. .

2. Функции  являются 2L-периодичными:  .

3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [–L, L]. Действительно, при  

.

Здесь использована формула .

4. .

Ряд Фурье для функции  по системе функций (9.6) имеет вид

, (9.7)

где коэффициенты Фурье

. (9.8)

Система функций (9.6) замкнута на [–L, L] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (9.7) сходится в среднем к ,

б) для любой функции из  выполняется равенство Парсеваля ,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции  частичной суммой  ее ряда Фурье,

.

 

Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции  удовлетворяют на промежутке [–L, L] условиям Дирихле, то функция  является суммой своего ряда Фурье:

. (9.9)

При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).

Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя .

Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.

§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Пусть вещественная функция  удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

, (10.1)

где

. (10.2)

Если в (10.1) выразить  и  через показательную функцию от мнимого аргумента:

 

то получим ряд

, (10.3)

где в силу (10.2)

;

;

=

Последние три формулы можно объединить:

. (10.4)

Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию , где  – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

.

Поскольку , то

,

=.

Искомое разложение будет иметь вид

, (10.5)

где учтено, что

.

Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля

, (10.6)

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

;

.

Тогда из (10.6) следует

.

Упражнение 1. Доказать, что

; .

 

Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = p.

Упражнение 2. Доказать, что при

; .

Глава 2. Интеграл Фурье

 

§ 11. Сходимость интеграла Фурье

Пусть функция  определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [–L, L] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

, (11.1)

где

; (11.2)

 – частота k-й гармоники;  .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

. (11.3)

При  величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции  по переменной w в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при  вместо ряда получим интеграл

. (11.4)

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке , т.е. интеграл  сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.

§ 12. Преобразование Фурье

Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим

. (12.1)

Если функция  непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке . Действительно, так как , то

, (12.2)

и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех , поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция  непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим

. (12.3)

Комплексная функция , определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции . В свою очередь, формула (12.3) определяет  как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции . Равенство (12.3) при заданной функции  можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции , решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции  при заданной  дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение  задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке  и суммарной комплексной амплитудой . Функция   называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

,

можно трактовать, как разложение функции  в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке .

Равенства Парсеваля. Пусть и  – Фурье-образы вещественных функций  и  соответственно. Тогда

; (12.4)

, (12.5)

т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем . Заменив функцию  ее выражением (12.3) через Фурье-образ , получим

.

В силу (12.1)

.

Поэтому , т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при .

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция  четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать , также является вещественной четной функцией. Действительно,

.

Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,

. (12.6)

Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция  вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает

=.

Так как и  – соответственно четная и нечетная функции переменной w, то

. (12.7)

Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция  нечетна, то ее преобразование Фурье , где  – вещественная нечетная функция от w. При этом

; (12.8)

. (12.9)

Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.

Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции  только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при  интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при  к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.

Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы.

Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа .

Решение. Найдем Фурье-образ функции  где :

.

С помощью формулы обратного преобразования Фурье

получим

или

.

Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому

.

 

Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле , если .

Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции

получим

;

.

Таким образом,

В частности интеграл Дирихле

.

Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона .

Решение. Сначала вычислим интеграл , применив к функции , где , преобразование Фурье и введя замену

=;

 

.

Отсюда , и, следовательно, с заменой  можно записать

.

Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы

; .

Упражнение 2. Доказать, что

,

используя равенство Парсеваля.

§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье

Тот факт, что функция  является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .

Свойства преобразования Фурье:

1. Теорема линейности.  , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.

2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим

 

3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим

.

Следствие.

, (13.1)

где . Действительно,

.

4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций  и  называется функция

.

Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на : .

Так как по определению

,

то, выполнив во внутреннем интеграле замену , получим

=

==,

что и требовалось доказать.

5. Теорема об образе производной. Пусть функция  и ее производная  абсолютно интегрируемы на промежутке . По формуле Ньютона – Лейбница

.

Так как производная  интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при . Следовательно, существует конечный предел  . При этом , ибо в противном случае функция  была бы неинтегрируемой на промежутке . Точно также доказывается, что .

Введем в рассмотрение Фурье-образ производной

.

Выполнив интегрирование по частям, получим

.

Так как внеинтегральный член равен нулю, то

.

Таким образом, операции дифференцирования функции  соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель . Аналогично, если функция  имеет абсолютно интегрируемые производные до n-го порядка включительно, то

 

, .

 

Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.

2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.

Пример 1. Доказать, что

, (13.2)

где .

Решение. Положим

Тогда

Таким образом,

,

и по теореме о свертке

.

 

Пример 2. Найти решение уравнения

(13.3)

при , удовлетворяющее начальному условию

. (13.4)

Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.

Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на , проинтегрируем его по х от  до . Тогда

 

или

, (13.5)

где  – Фурье-образ функции .

Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:

.

Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции  переменной t, где w – параметр.

Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):

. (13.6)

Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция

.

С помощью (12.3) находим  – прообраз функции :

. (13.7)

Последний интеграл в (13.7) равен . Поэтому

.

По теореме о свертке

,

или

. (13.8)

Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.

Пример 3. Найти решение волнового уравнения

, (13.9)

удовлетворяющее начальным условиям

. (13.10)

Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией , физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны  – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и  задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа , где и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики  – скорость возмущенного движения в точке  в момент времени ;  – скорость звука в невозмущенной среде и т.д.

Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

где w – параметр.

Решение задачи имеет вид

Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера

 (13.11)

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим

.

Тогда

. (13.12)

При  возмущение  сохраняет постоянное значение , если переменные  и  связаны зависимостью: . Иными словами, возмущенное состояние  переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью . Поэтому говорят, что функция  определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция  задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.

Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени  есть результат сложения волн  и , вышедших в момент времени  из точек с координатами  и  соответственно.

Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:

1. Произвольную функцию  можно представить в виде «суммы» гармоник; если  задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если  задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.

2. В представлении формулы  в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции  и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию .

3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.

Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).

Глава 3. Операционное исчисление

 

§ 14. Преобразование Лапласа

Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция  называется оригиналом, если выполняются следующие условия:

1)  для всех отрицательных t;

2) при  растет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие постоянные M > 0 и c > 0, что  для всех t.

Число с называется показателем роста . очевидно, что для ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Если функция  удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H(t) опускать, считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как  и т.п.

Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами и что оригиналом является функция  при  (доказательства следует найти самостоятельно).

Замечание. Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной степени , а также функции вида  являются оригиналами.

Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

, (14.1)

где  – комплексный параметр.

Теорема. Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости П_с: , где с – показатель роста f(t). В самом деле, по определению оригинала имеем . Таким образом, интеграл (14.1) мажорируется сходящимся интегралом , и, следовательно, сходится абсолютно в П_с.

Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:

 (14.2)

 

Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа

 (14.3)

представляет собой функцию параметра p, определенную в полуплоскости П_с:. Функция  называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала . Тот факт, что  есть Лаплас-образ , обозначается  или .

Соотношение (14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа следующие:

1. Теорема линейности. При любых постоянных  и

.

Это утверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов.

2. Имеет место , что непосредственно следует из неравенства (14.2).

3. Теорема подобия. Для любого

.

Действительно, полагая , получим

.

4. теорема смещения. Для любого а . Действительно,

.

5. теорема запаздывания. Для любого   . По определению преобразования Лапласа имеем

.

Здесь учтено, что  при . Выполнив в последнем интеграле замену , получим

.

 

Обратное преобразование Лапласа. Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при  оригинал , то

где   – показатель роста .

Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для . Таким образом, Лаплас-образ функции  является Фурье-образом функции . Из формулы обратного преобразования Фурье получим, что в точках непрерывности

.

Отсюда

 (14.4)

Если в точке t функция  терпит разрыв, то значение интеграла в (14.4) равно полусумме односторонних пределов  в этой точке.

Формула (14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений в точках разрыва.

 

§ 15. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда. Имеем:

Так как при , то

.

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

 

Экспонента. По теореме смещения

 

Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем

;

;

;

.

 

Степенная функция с натуральным показателем. Положим , где . Тогда при

.

При , поэтому

Отсюда

.

Так как , то

Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов

Периодические функции. Если оригинал  является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу

 (15.1)

Действительно, в этом случае

.

Выполнив замену , в силу периодичности  будем иметь

.

Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем  Так как при  , то ряд сходится, и его сумма равна , откуда и следует доказываемое утверждение.

Пример. Найти Лаплас-образ оригинала  с периодом Т = 1).

Решение. Имеем

Следовательно, в силу (15.1)

.

 

Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция , где , а числа  образуют возрастающую последовательность, может быть представлена в виде

, ,

где  

Тогда

Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции

Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию вида

где  – функция, определенная для всех

Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать

.

Введем функции , где . Тогда  , и по теореме запаздывания

.

 

Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции

 

Решение. Так как

;

;

,

то

.

Дельта-функция Дирака. Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций

 (15.2)

и семейство их изображений по Лапласу

. (15.3)

При  семейство функций  расходится, так как

Введем условную функцию  – дельта-функцию Дирака, которую будем считать пределом семейства (15.2): . Таким образом, дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки , где она равна .

Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при :

.

Далее по определению положим

; .

Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

 (15.4)

 (15.5)

  (15.6)

Выражения (15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f(t).

Замечание 1. Из утверждения (15.6) следует, что

что полностью соответствует теореме запаздывания.

Замечание 2. В силу (15.4) имеем

.

Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичной функции Хевисайда.

В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений.

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления

Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов  и  называется функция

.

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала  и единичной функции  Имеем . Так как  при  то

. (16.1)

Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. , следует самостоятельно.

Теорема 1. Если  и , то

.

Действительно, по определению (14.3) имеем

,

где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

.

Введем вместо t новую переменную . Тогда

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти оригинал , если его Лаплас-образ .

Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:

.

Так как

,

то по теореме 1 имеем

.

Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:

,

где а и b – постоянные.

Упражнение 2. Найти свертку функций  и .

Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если  то .

Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда

.

 

Теорема 3. Если и  – оригиналы и, то

. (16.2)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь

.

Тогда по теореме 1

.

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (16.2) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:

1. Если  – оригинал с показателем роста , то его изображение  имеет в области  производные любых порядков.

2. При том же условии пределы, производные и интегралы от  в области  можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).

Теорема 4. Если , то , т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p, получим

.

Справа стоит интеграл Лапласа для функции , следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Применив несколько раз теорему 4, получим

.

 

Теорема 5. Если  – оригиналы и , то

,

т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на . Так как в силу (14.3) имеем , то

.

Поскольку при  и , то

.

Рассмотрим функции

.

По теореме 4 имеем

.

Так как , то по теореме 5

.

Точно так же получим

.

Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса

.

Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.

Следствие 1. Если сходится интеграл

, (16.3)

то

. (16.4)

Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение  непрерывно в замкнутой области . Переходя к пределу в (14.3) при , приходим к требуемому результату.

Следствие 2. Если сходится интеграл , то

.

Так как , то в силу (14.4)

.

Для  справедливо равенство

.

 

Следствие 3. Если  – оригиналы, то . Действительно, по теореме 3

. (16.5)

С другой стороны,  (см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при , получим требуемый результат.

Следствие 4. Если  – оригиналы и существует конечный предел , то

. (16.6)

Исходим из равенства

. (16.7)

В силу (14.4) и теоремы 3

. (16.8)

Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6).

Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при , имея в своем распоряжении только их изображения.

Упражнение. Вычислить несобственный интеграл , где .

§ 17. Формула разложения Хевисайда

Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.

Теорема. Пусть, где и  – дифференцируемые функции. Введем  как полюсы функции , т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если  , получим формулу Хевисайда:

. (17.1)

Доказательство проведем для случая, когда  и  – многочлены степеней т и п соответственно, при этом т < п. Тогда  – правильная рациональная дробь. Представим  в виде суммы простейших дробей:

. (17.2)

Отсюда  Коэффициенты  найдем из тождества (17.2), переписав его в виде

,

где

.

Умножим обе части последнего равенства на  и перейдем к пределу при . Учитывая, что  и , получим

,

откуда и следует (17.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов  и  вещественны, то комплексные корни многочлена  попарно сопряжены. Следовательно, в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена , и формула Хевисайда примет вид

, (17.3)

где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена , вторая – на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.

Замечание 2. Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание , где . Таким образом, вещественным корням () соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями  – затухающие колебания, чисто мнимым корням  – незатухающие гармонические колебания.

Если знаменатель  не имеет корней с положительными вещественными частями , то при достаточно больших значениях  получим установившийся режим:

, (17.4)

где

;

 – чисто мнимые корни многочлена с положительными мнимыми частями.

Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при и поэтому не входят в установившийся режим.

Пример 1. Найти оригинал изображения

.

 

Решение. Имеем . Выпишем корни многочлена : .

По формуле (17.1)

.

Здесь , , так как числа  – корни уравнения . Следовательно,

.

 

Пример 2. Найти оригинал изображения

,

где а > 0; .

Решение. Здесь функция , помимо очевидного корня , имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции . Решая уравнение , получим , откуда

.

Таким образом, корни знаменателя  имеют вид  и , где

Далее запишем

;

;

По формуле (17.3) находим оригинал

 

 

 

§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

 (18.1)

(здесь ) с начальными условиями

. (18.2)

Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь

. (18.3)

Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде

. (18.4)

Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение

, (18.5)

где  (характеристический многочлен);  .

Из уравнения (18.5) найдем операторное решение

. (18.6)

Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):

Для задачи Коши  в принятых обозначениях можно записать

;

;

.

Операторное уравнение имеет вид

.

разложим операторное решение на простейшие дроби:

.

С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:

.

Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

.

 

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями , где .

Решение. Запишем операторное уравнение

.

Его решение имеет вид

.

Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:

.

 

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения  с нулевыми начальными условиями, где  – ступенчатая импульсная функция.

Решение. Запишем операторное уравнение

и его решение

.

Из теоремы 2 § 16 следует

;

в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)

.

Окончательно,

.

 

Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила . В момент времени t точка подверглась удару, несущему импульс . Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.

Решение. Уравнение движения запишем в виде

,

где  – упругая сила;  – функция Дирака. Решим операторное уравнение

,

где . При

.

Если  (случай резонанса), то

.

По теореме запаздывания

.

Окончательно,

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях  . Операторное решение в этом случае имеет вид

.

Пусть весовая функция  – оригинал для . тогда по теореме 1 § 16 получим

. (18.7)

Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию , полагая

 (18.8)

где  – начальные значения искомого решения .

Как легко видеть, , и следовательно, .

Таким образом, функция  – решение уравнения (18.1) с правой частью , полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.

Используя (18.7), найдем  и  .

Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), . Тогда  , и для определения  получим уравнение  с однородными начальными условиями.

Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен , весовая функция . По формуле Дюамеля

.

Окончательно,

.

 

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид

, (18.9)

где  – вектор искомых функций;  – вектор правых частей;  – матрица коэффициентов;  – вектор начальных данных.

Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему

, (18.10)

где  – Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно.

Из (18.10) находим операторное решение

, (18.11)

где ; Е – единичная матрица.

Оригинал  операторного решения(18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).

Обозначим  весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для , где  Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь

. (18.12)

При нулевых начальных условиях

. (18.13)

Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.

Пример 5. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:

,

где . Тогда

;

.

Окончательно, по формуле (18.12) получим

или

 

Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи.

Пример 6. Решить задачу Коши:

с начальными условиями .

Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь

Запишем решение операторной системы

.

Тогда

.

 

§ 19. Приложения

Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени  определяется двумя величинами: силой тока (током) , проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции  и  связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.

Для сопротивления имеет место закон Ома

,

где  – сопротивление двухполюсника.

Для индуктивности справедливо соотношение

,

где  – индуктивность двухполюсника.

Для конденсатора выполняется соотношение

,

где С – емкость конденсатора;  – начальный заряд на его обкладках.

В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени  цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.

Если ввести операторный ток  и операторное напряжение  как изображения функций  и  соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:

.

Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома

,

где операторное сопротивление (импеданс) в случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно . Величину, обратную ,  называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.

При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями  и  имеем ;  и , откуда , и следовательно, импеданс цепи . Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами  и  получим , , , откуда , и следовательно, адмитанс цепи .

Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления , индуктивности  и емкости , шунтированной сопротивлением , то ее импеданс .

Если электрическая цепь с адмитансом  включена на эдс , то операторный ток в ней определяется соотношением , .

Как правило, операторная проводимость цепи  представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости , что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.

Если эдс  является ограниченной функцией времени, то полюсы функции  имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток

,

где ;  – чисто мнимые полюсы функции  с положительными мнимыми частями;  – мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция  не имеет кратных полюсов.

Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье . Тогда

;

;,

следовательно,

.

Положим

,

где  – амплитуда гармоники с частотой , b_k – ее начальная фаза;

; g. Тогда

. (19.1)

Функции  и  называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.

Будем трактовать функции  и , как входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступает сигнал с частотой w, амплитудой а и начальной фазой b, то по завершении переходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты w с амплитудой  и с фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величину. Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собой соответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при его прохождении через систему. То значение w, при котором АЧХ  достигает максимума, называется резонансной частотой системы.

Пример. Колебательный контур состоит из последовательно соединенных активного сопротивления , индуктивности  и емкости C. Найти резонансную частоту.

Решение. Импеданс контура, его адмитанс . Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно

;

. (19.2)

Из формулы (19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если .

Таким образом, колебательный контур резонирует на частоту , наибольший коэффициент усиления сигнала равен , сдвиг фазы на резонансной частоте равен нулю.

Расчет длинных электрических линий. Обозначим  – удельные сопротивление, индуктивность и емкость провода соответственно;  – коэффициент утечки тока;  и  – ток и напряжение в точке с координатой х в момент времени . Тогда для участка линии между точками х и  по известным законам физики будем иметь

;

. (19.3)

Разделив уравнения (19.3) на Dх и перейдя к пределу при Dх ® 0, получим систему уравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций  и :

;

. (19.4)

Для завершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными и краевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид

. (19.5)

Далее примем, что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданное напряжение . Тогда краевые условия запишутся в виде

, (19.6)

где  – длина линии.

Применяя к системе (19.4) преобразование Лапласа по переменной  с учетом начальных условий (19.5), получим операторную систему

, (19.7)

где  и  – изображения напряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в

, (19.8)

где .

Применяя снова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х, вместо (19.7) запишем алгебраическую систему

; , (19.9)

где ; ; ;  – параметр преобразования Лапласа по переменной х.

В дальнейшем, чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегося режима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяют условию .

Решение системы (19.9) для линии без искажений имеет вид

,

где .

Возвратимся к оригиналам:

;

. (19.10)

С помощью второго из краевых условий (19.8) найдем

. (19.11)

Из (19.10) и (19.11) следует, что

;

. (19.12)

При отыскании функций  и  будем использовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений (19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения , откуда  и ,  Следовательно, нули функции  – это числа , расположенные в левой полуплоскости . Поэтому, если  – ограниченная функция, то, как следует из (19.12), напряжение и ток в установившемся режиме соответственно

где  – чисто мнимые полюсы функции  с положительными мнимыми частями.

В частности, если , то , и следовательно, в установившемся режиме

;

.

Примеры для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале [–p, p]:

1. 2.

3.. 4..

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.  12.

13.  14.

15.  16.

17.  18.

19. 20.

21.

22.

23.

24.

25. 26.

27.  28.

29. 30.

31.

 

Задание 2. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале :

1.  2.

3.  4.

5.  6.

7.  8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.  22.

23.  24.

25. 26.

27.  28.

29  30. =

Указание. Для решения примера 15 воспользоваться формулами [6]

 

Задание 3. Представить интегралом Фурье следующие функции:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.. 14.. 15..

16.. 17.. 18..

Указание. При решении следует воспользоваться формулами

;

;

 ;

 ;

;

.

Задание 4. Найти косинус-преобразование Фурье  следующих функций:

1. 2.. 3..

4.. 5..

 

Задание 5. Найти синус-преобразование Фурье  следующих функций:

1.  2.

3. 4..

5. . 6. . 7. .

Ответы

Задание 1

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. . 25. .

26..

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

Задание 2

.

2. .

3. .

4. .

5. . 6. . 7. .

8.

.

9. .

10. . 11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. . 17.  

18. . 19. .

20. .

21. .

22. . 23. .

24. . 25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

 

Задание 3

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. .

14. . 15. . 16. .

17. . 18. .

 

Задание 4

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

Задание 5

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6.. 7..

Рекомендательный библиографический список

Основной:

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Часть II. М.: Наука, 1985.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.

Дополнительный:

4. Данко П.В. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко, А.Г.Попов, Г.Н.Кожевникова. М.: Высшая школа, 1997. т.2.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

6. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1981.

Оглавление

 

Введение

Глава 1. Ряды Фурье

§ 1. Векторные пространства

§ 2. Скалярное произведение и норма функций

§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]

§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L]

§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций

§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Глава 2. Интеграл Фурье

§ 11. Сходимость интеграла Фурье

§ 12. Преобразование Фурье

§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье

Глава 3. Операционное исчисление

§ 14. Преобразование Лапласа

§ 15. Изображения простейших функций

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления

§ 17. Формула разложения Хевисайда

§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений

§ 19. Приложения

Примеры для самостоятельного решения

Ответы

Рекомендательный библиографический список