Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Математический факультет Кафедра Дифференциальных уравнений Курсовая работа «Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя» Гомель 2005
Реферат

Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.

Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.

Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.

Содержание

 

Введение

Определение вложимой системы. Условия вложимости

Общее решение системы

Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Отражающая функция

Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем

Заключение

Список использованных источников

Введение

 

В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.

В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.

Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.

В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.

1. Определение вложимой системы. Условия вложимости

Рассмотрим дифференциальную систему

  D. (1)

Будем называть i-ю компоненту x системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x(t),…, x(t)), t, этой системы функция xt, является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида

, (2)

для которого является решением.

Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения . В частном случае, когда компонента  любого решения  системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений  уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).

 

2. Общее решение системы

Рассмотрим вложимую систему

 (1)

(b>0 и а-постоянные) с общим решением

, если с0;

x=0, y=at+c, если с=0, где постоянные с, с, с связаны соотношением с(b+c+c)=a, имеет два центра в точкахи .

Решение:

Подставим общее решение

 в нашу систему (1) получим

==c(ccosct-csinct)=

a-

Для краткости распишем знаменатель и преобразуем

x+y+b=

=

=a+c(csinct+ccosct)

a-

Получаем, что x и y являются общим решением системы.

 

3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x,…, x), (t, x) (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:GR, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR, определяемую равенством

V (t, x(t))t.

 

Лемма 1.

Для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество

V t.

Без доказательства.

Лемма 2.

Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

U

Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1 будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x) выполняется неравенство.

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Найдем первый интеграл нашей системы:

Возведем в квадрат и выразим с

y

Положим , получим

Проверим, что функция  – это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества  (2)

Найдем производные по t, x, y

  

После выше сделанных преобразований получаем, что функция  – это первый интеграл системы (1),

2) Положим , т.е. ,

где , Q

3) Проверим выполнение тождества:

 (3), где

Преобразуем (3).

[в нашем случае ] = =[учитывая все сделанные обозначения] =

=

=

=[ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль]

Таким образом, тождество (3) истинное.