Х, У – неизвестные случайные величины

14. Х, У – неизвестные случайные величины

М (Х) = 3 8 2 2 2 2 2

М (У) =2 ½ Д(ХУ) = М( ХУ ) – М (ХУ) = М (Х ) * М (У ) – [ М (Х)*М (Х)] =  

Д(Х) = 4 ½ 2 2 2  2

Д(У) = 8 ½ Д (Х)=М(Х ) – М (Х) = М (Х ) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13

Д (Х У) 2 2

М (У ) = Д (Х) + М (У) = 8 + 4 = 12

2

= 12*13 – (2 * 3) = 156 – 36 = 120

 

__________________________________________________________________________

15. Х, У – независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1.

Р (Х=0) = 0,3 ½ 2 2 2 2 2

Р (У=0) = 0,6  ½ М(Х+У) + М (Х + 2ху +у ) = М (Х ) +2М (Х) * М (У) + М (У ) =

2

М (Х+У)

2 Х , Х	0	1
Р	0,3	0,7

2 Х , Х	0	1
Р	0,6	0,4

2

М (Х) = 0,7 = М (Х )

2

М (У) = 0,4 = М ( У )

 = 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66

16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1.

(задание как в 15).

 

Х	0	1
Р	0,3	0,7

У	0	1
Р	0,5	0,5

х - у

М (3  ) - ?

х-у х  -у х -у

М (3 ) = М (3 * 3  ) =М (3 ) * М (3 ) = 2,4 * 2 = 1,6

 3

х 3	1	3
Р	0,3	0,7

-у 3	1	1 3
Р	0,5	0,5

Х -у

М (3 ) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3  ) = 0,5 + 0,5 = 4 * 0,5 = 1

 3 3  3

_____________________________________________________________________________________________________________

17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих в том, что

подбрасываются 9 монет

Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба

М (Х) -?

1-испт. - 9 монет

 9 испытаний Р = 1

2  

3 3 6 3  9

Р(Г = 3) = С9 * ( 1 ) * ( 1 ) = С9 * ( 1 ) = 84 * 1 - 21 = …

2 2 2 512 128

n = 10240 испытаний

Р = 21 ; М (Х) = np = 21 * 10240 = 1680

128                            128

18. В серии независимых испытаний (одно испытание за ед.времени)

вероятность наступления А равна 1

8.

Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М (Т)1 Д (Т).

Х1 – время ожидания до первого наступления А

Х2 – время ожидания от первого наступления А до 2-го

Т = Х1 + Х2 +Х3 + …..Х14

Хi  Р = 1  

 8 7/8

М (Хi) = 1 = 8 ; d = 7 Д (Хi) = d = = 56

8 8 2 2

p 1/8

М (Т) = 14М * (Х1) 14 * 8 = 112

Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 = 784

19. Величины Х1 …..Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами

п =4, р = 3 Найти М (Х1 + Х2 + …+ Х320)=?

8

2 2 2

М (Х1 + …..+Х 320) = 320М (Х1 ) = Х1 – биноминальное

2 2 М (Х1) = пр = 3

= М(Х1 ) = Д(Х1) + М (Х1) = 2

2 Д (Х1 ) = nрq = 3 * 5 = 5

 = 15 + 3 = 15 + 9 = 51 2 8  16

16  2 16 4 16

= 320 * 51 = 1020

16

_____________________________________________________________________________________________________________________

20. Величины Х1 …..Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым

мат. ожиданиям равным 8.

2 2

Найти М (Х1 +…+ Х18 ) - ?

M (Х) = Д (Х) = l  = 8

2 2 2 2

М (Х1 +…+ Х18 ) = 18 М (Х1 ) = 18 (Д (Х1) + М (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296

_________________________________________________________________________________________________________

21. Х – равномерно распределён на отр. [ - 8,2 ]

Р ( 1 )>5 = Р (0< Х <1 ) = > (0< Х <0,5) =

Х 5

1 – 5 >0 ; 1 – 5Х > 0; Х –1/5 < 0 Û (0< Х <0,5)

Х Х Х

1 – 5Х > 0; Х – 1/5 < 0

Х Х

[ х, в ]

0,Х>а 0; Х <а

f (Х)=  1 ; а < Х < в F (Х) = х – а ; а £ Х £ а Û 0< Х 1/5  

в –о в –а

0,Х > в 1, Х >B

F (Х) = Х + 8 = F (1/5) - F ( 0 ) =1/5 + 8 - 8 = 1  

5 10 10 50

_______________________________________________________________________________________________________________________

22. Х – равномерно распределена на отр. [ -17; 10 ]

 2 2

Р ( Х > 64) = 1- Р ( Х < 64) = 1 – 16

 27

2

Р (Х < 64 ) = Р (-8 < Х <8) =

0; Х < -17

F(Х) = Х + 17 , -17 £ Х £ 10

27

1, Х > 10

= F (8) – F (-8) = 8 + 17 - -8 + 17 = 16

 27 27 27

______________________________________________________________________________________________________________

23. Х – равномерно распределена на отр. [ -1; 1 ]

8/9 X [a,b] ; f (x)

М ( Х ) a 0; x <-1

M(x)= ∫ x f(x) dx f (x)= -1<x<1

b 0; x>1

a

M(y(x))=∫ y (x) f (x) dx

b

8/9 1 8/9  17/9 1

M(X ) = ∫ ½* X DX = ½ * X = 9/17

-1 17/9 -1

24. Х – равномерно распределена на отр. [ 0.1 ]

9/10 9/10

Д ( 19Х ) = 361 (Х )

9/10 9/10 2 2 9/10 9/4 2 9/10 9/10 * 2

Д (Х ) = М ( (Х ) ) - М (Х ) = М (Х ) - М (Х ) Х

__________________________________________________________________________________________________________

25. Х – равномерно распределена на отр. [ 5; 8 ] * Д (24x+ 36) - ?

Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3 = 432

 2 4

Д (Х) = ( в – а )

12

2

Д (Х) = 8 – 5 = 9 = 3

12 12 4

_______________________________________________________________________________________________________________

26. Х1,……Х2 – Независимые и распределенные по показательному закону.

2

Найти М [ (Х1 + Х2 + …..+ Х10) ], если М (Хi ) = 4.

М (Х) =  1

l

Д (Х) = 1

2

l

M (Хi ) = > Д (Хi) = 16

2 2 2

М [ (Х1 +….+ Х10) ]=Д(Х1 +…+ Х10) + М (Х1 +….+ Х10) =10Д (Х1)+[ 10М (Х1) ]=

2

= 160 + ( 10 * 4) = 1760

_________________________________________________________________________________________________________________

2

М(Х) =1/ l ; Д(Х) = 1/l

27. Х –распределен по показательному признаку

 2

Найти М [ (Х + 8) ] , если Д (Х) = 36  М (Х)=6

2 2 2 2

М (Х + 8) = M(Х + 16х + 64) = М (Х ) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) +

+ 16 М(Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232

____________________________________________________________________________________________________________

 28. Х –показательное распределение; Х – показательный закон

0, Х < 0

 F (Х) = -2х  

1 – е , Х >0, Найти Ln (1 – Р ( Х < 6) ) = Ln (1 – F (6) ) =

-6/7  -6/7 -6/7

= F (6) = 1 – е = Ln ( 1 – (1 – е ) ) = Ln е = - 6/7

 

29. (Х) - случайная величина

 

0, Х < 10

ƒ (Х) =  С  ; Х ≥ 10

5

Х

С - ? ; М (Х) - ?

¥ ¥ опр. B ¥ -5

∫ ƒ (Х)dх = 1 => ∫ с dх = lim ∫ = cdx  = C lim ∫ X dx =

 10 10 5 b->¥ 10 5 b->¥ 10

Х X

b

-4 -4 4 4 4

= C * lim X  = C lim - b + 10 = C * 10 = > 1 = C 10 = >

b->¥ -4 b->¥ 4 4 4 4

10

 4

=> C = 4 * 10

0; Х < 10

ƒ (Х) = 4

4 * 10 , Х ³ 10

5

Х

¥ ¥ 4

М (Х) = ∫ Х ƒ (Х) dx = ∫ 4 * 10 dx

10 10 4

Х

_________________________________________________________________________________

30. Х – нормальная случайная величина

М (Х) = 16

Д (Х) = 25

? – Р (Х>10,5)

= 1 - f  10,5 – 16 = 0,5 + f (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864

2                 5

________________________________________________________________________________________

1.    Р (d £ X £ b ) = f b – m - f d - m

d d

2. P ( X < b ) =  1  + f b – m

2               d

3. P ( X > b ) = 1 - f b – m

2 d