Данные об изменении массы просят (Y) и возраста (Х)

9. Данные об изменении массы просят (Y) и возраста (Х).

Xi	4	5	7	7	8	10
Yi	12,6	14,2	16,3	15,9	17,4	18,8

10. Данные о производительности труда (Y) и фондовооруженности (Х).

Xi	2	4	6	6	7	8
Yi	0,8	5,2	8,7	9,2	11	13,2

IV. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример_1. Студент знает 15 вопросов из 25. Наудачу ему задается вопрос. Найти вероятность того, что он его знает.

Решение: Мы находимся в классической схеме. Действительно, если представить эксперимент

в виде урновой схемы - в урне 25 пронумерованных шаров из которой достается один шар- то ясно, что все исходы равновозможные и их конечное число. Далее A={студент знает предложенный вопрос}, m=15- число исходов благоприятствующих А, n=25- общее число исходов. Тогда

.

Пример 2. Из колоды в 36 карт, достается одна. Найти вероятность того, что она "красная".

Решение: Обозначим А={наудачу вынутая карта- "красная"}; m=18- число исходов благоприятствующих А, т.к. в колоде из 36 карт, 18 "красных" карт; n=36- общее число исходов. Тогда по классическому определению вероятности

.

Пример 3.Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень в 45 случаях. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень.

Решение: Подсчитаем относительною частоту события А={стрелок поразит мишень при одном выстреле}.

.

Таким образом искомая вероятность Р(А)=0,45.

Пример 4. Вероятность того, что событие А произойдет в опыте равна 0,75; вероятность того, что событие В произойдет в опыте- 0,4. Вероятность того, что оба события произойдут в опыте равна 0,25. Найти вероятность того, что хотя бы одно событие произойдет в опыте.

Решение: Обозначим А={событие А произошло в опыте}, В={событие В произошло в опыте}

Тогда А×В={события А и В произошли в опыте одновременно}.

Р(А)=0,75; Р(В)=0,4; Р(А×В)=0,25.

Используя теорему о сумме двух совместных событий получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А×В)=0,75+0,4-0,25=0,9.

Пример 5. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность появления брака во время первой операции равна 0,02, второй- 0,01, третьей- 0,03. Найти вероятность: а) выхода стандартной детали, считая появление брака во время отдельных операций независимыми событиями; б) выхода бракованной детали.

Решение: а) введем события А={на выходе появилась стандартная деталь}, А_i={i-я операция обработки прошла без брака}, i=1,2,3. Тогда А=А₁×А₂×А_3. По условию задачи Р(А₁)=0,98; Р(А₂)=0,99; Р(А₃)=0,97.Используя теорему умножения для независимых событий, получаем.

Р(А)=Р(А₁×А₂×А₃)=Р(А₁)×Р(А₂)×Р(А₃)=0,98×0,99×0,97=0,9411.

б)={на выходе появилась бракованная деталь}.Тогда

 

Пример_6. Партия деталей содержит 70% деталей первого завода и 30% деталей второго завода. Вероятность того, что деталь с первого завода проработает без отказа более 1000 часов (надежность) равна 0,95 , а для деталей со второго завода эта вероятность равна 0,9.

а) Найти вероятность того, что случайно взятая из партии деталь проработает без отказа более 1000 часов.

б) Деталь прошла испытание и проработала безотказно 1000 часов. Найти вероятность того, что она с первого завода.

Решение: Введем события А={деталь проработает без отказа более 1000 часов}.H_i={взятая деталь с завода i} , i=1,2 по условию задачи P(H₁)=0,7 ; P(H₂)=0,3 ; P(A/H₁)=0,95 ; P(A/H₂)=0,9.

По формуле полной вероятности

P(A)= P(H₁)× P(A/H₁)+ P(H₂)× P(A/H₂)=0,7×0,95+0,3×0,9=0,935.

Таким образом, партия деталей (большое количество) будет содержать где-то 93,5% деталей с заданной надежностью. б) Сохраним обозначения п. а). по формуле Бейеса

.

Пример 7. Найти числовые характеристики с.в. Х , построить функцию распределения если:

Х	-4	0	8
Р	0,2	р	0,6

Решение: р=1-(0,2+0,6)=0,2. График ф.р.

 

МХ=-4×0,2+0×0,2+8×0,6=4, DX=MX²-(MX)²=(-4)²×0,2+0²×0,2+8²×0,6-(4)²=25,6.

Среднее квадратическое отклонение

,

коэффициент вариации

.

Мода(Х)=8, т.к. 8 имеет наибольшую вероятность, равную 0,6. Коэффициент асимметрии

.

Пример 8. Вероятность того, что в данный день торговая база уложится в норму расходов на транспорт, равна 0,8. Какова вероятность того, что за три рабочих дня база уложится в норму 2 раза. Найти числовые характеристики с.в. Х- число дней, когда база укладывается в норму транспортных расходов в течение трех рассматриваемых дней.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли, а следовательно с.в. Х имеет биномиальное распределение. По условию задачи n=3 , p=0,8.

Тогда Основные числовые характеристики с.в. Х равны: а) математическое ожидание MX= n×p=3×0,8=2,4; б) дисперсия DX= n×p×q=3×0,8×0,2=0,48; q=1-p=0,2,

»0,7;

в) коэффициент вариации

 ;

г) коэффициент асимметрии

 ;

д) коэффициент эксцесса

;

е) Мода (наивероятнейшее число) находится из неравенства

np-q£Мода(Х)<np+p , т.е. 3×0,8-0,2£Мода(Х)<3×0,8+0,8

2,2£Мода(Х)<3,2ÞМода(Х)=3.

Пример 9. В условиях предыдущего примера, найти вероятность того, что из 100 рабочих дней торговая база уложится в норму транспортных расходов:

а) ровно 80 раз; б) от 75 до 85 дней включительно.

Решение: а) в нашем случае n=100; p=0,8; q=0,2.

Воспользоваться точной формулой для вычисления Р(Х=80) практически невозможно, поэтому воспользуемся приближенной. Так как npq=100×0,8×0,2=16>9,то применим локальную теорему Муавра- Лапласа.

,

j(0)- найдено по таблице 3 приложения-плотности нормального распределения N(0,1);

б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра- Лапласа.

=2Ф(1,25)=2×0,39435=0,7887

здесь Ф(Х)- функция Лапласа, значение которой найдено по таблице.

Пример 10. Вероятность того, что наборщик ошибется при наборе знака равна 0,0001. Найти вероятность того, что набирая 30000 знаков, наборщик допустит:

а) ровно 3 ошибки; б) от 2 до 4 ошибок включительно.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли с параметрами n=30000, p=0,0001. Тогда npq=30000×0,0001×0,9999»3<9, поэтому для вычисления отдельных вероятностей воспользуемся теоремой Пуассона:

 ,

l=np, k=0,1,2,...

а)пользуясь таблицей, получим

 , l=np=3.

б)

=0,22404+0,22404+0,16803=0,61611.

Пример 11. С.в. Х имеет распределение Пуассона со средним равным 1,5. Найти числовые характеристики Х. Вычислить вероятности: а) Р(Х=0); б) Р(Х³1); в) Р(Х>7).

Решение: Для с.в. имеющей распределение Пуассона с параметром l известно, что МХ=l. Следовательно, из условия задачи (МХ=1,5) находим, что l=1,5.Числовые характеристики Х равны

МХ=l=1,5 ; DХ=l=1,5; среднее квадратическое отклонение

.

Коэффициент вариации

.

Коэффициент асимметрии

.

Коэффициент эксцесса

.

Моду с.в. Х найдем по таблице: Мода(Х)=1, т.к. Х=1 имеет наибольшую вероятность.а) По таблице находим Р(Х=0)=0,22313; б)

Р(Х³1)=1-Р(Х=0)=0,77687;

в) Р(Х>7)=0,00017.Эта вероятность найдена по таблице 2 приложения, она настолько мала, что можно считать, что больше 7 событий практически не происходят.

Пример 12. Из урны содержащей четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают три шара. Какова вероятность, что среди них два черных шара. Найдите числовые характеристики с.в. Х- число черных шаров из вынутых трех шаров.

Решение: Мы находимся в схеме формирования с.в. Х имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами (N,p,n):

,

k=0,1,2,..., q=1-p. В нашем случае: N=6+4=10 - общее число шаров в урне; n=3 - число шаров, которые достаются из урны; Np=6 - количество черных шаров, Þ p=6/N=6/10=0,6 (p связано с черными шарами, т.к. Х- тоже связано с черными шарами);

Nq=4 - число белых шаров,Þ q=0,4. Итак:

.

Числовые характеристики с.в. Х равны MX=n×p=3×0,6=1,8 ;

Среднее квадратическое отклонение

 

Коэффициент вариации

Коэффициент асимметрии

.

Пример 13. С.в. Х имеет показательное распределение с параметром l=2. Найти числовые характеристики с.в. Х и вычислить Р(1<X<3).

Решение: Числовые характеристики с.в. Х вычисляются по формулам:

 

-математическое ожидание;

 -дисперсия;

 -

среднее квадратическое отклонение;

V(X)=100% -коэффициент вариации

всегда равен 100% ; Медиана

(Х)=.

График плотности с.в. Х имеет вид изображенный на рис.1. Из этого графика видно, что локальный максимум плотности находится в точке О.

Следовательно Мода(Х)=0.

Коэффициент асимметрии a(Х)=2 (всегда 2).

Коэффициент эксцесса е(Х)=6 (всегда 6).

рис.1

Пример 14.С.в. Х имеет нормальное распределение с параметрами а=150, s²=36.

а) Выпишите плотность с.в. Х и изобразите эскиз графика плотности.

б) Найти числовые характеристики с.в. Х.

в) Найти границы за которые практически не выходит с.в. Х.

г) Вычислить Р(135<X<165).

Решение: а) Выпишем плотность с.в. Х:

,

б) Найдем числовые характеристики Х.

МХ=Мода()=Медиана()=а=150

D(X)=s²=36Þs(x)==s=6

Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 0. Коэффициент вариации

,

в) используя правило 3 сигм, можно утверждать, что с.в. Х практически (с вероятностью 0,9973) не выйдет за границы интервала а-

3s<X<a+3s, т.е. 150-3×6<X<150+ 3×6sÞ132<X<168;

г) Р(135<X<165)=Ф =

,

здесь Ф(×)-функция Лапласа, значение которой найдено по таблице. Отметим свойство функции Ф(х):Ф(-х)=-Ф(х) поэтому Ф(-2,5)=- Ф(2,5)=-0,49379.

 

Пример 15. Найдите выборочные числовые характеристики по выборке: 3,5,6,3,3,6,3,7,5,5,3.

Решение: Построим статистический ряд частот:

Варианты хi	3	5	6	7
Частота ni	5	3	2	1

Объем выборки

n=n₁+n₂+n₃+n₄=5+3+2+1=11.

 ;

S²=,

 

Оценки  являются "хорошими" для математического ожидания и дисперсии, т.к. выборка является малой, а Мода(Х)=3, т.к. значение 3 встречается большее число раз (пять). Построим вариационный ряд: 3,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7.Т.к. n-нечетно (n=11), то на месте (n+1)/2=6 в вариационном ряде стоит медиана: Медиана(Х)=5.

Коэффициент асимметрии

a^*(х)=

.

 

Пример 16. По выборочным данным найти моду, медиану. Построить гистограмму.

Интервал	Частота ni
5-11	18
11-17	25
17-23	14
23-29	8
29-35	2

 

Решение: Построим гистограмму частот

Для удобства

Интервал	Середина интервала	Частота ni	Накопленная частота
вычислений	5-11	8	18	18
составим	11-17	14	25	43
таблицу.	17-23	20	14	57
	23-29	26	8	65
	29-35	32	2	67
			S=67

При вычислении

=

Медиана оценивается по формуле Медиана= L+i

Здесь L- нижняя граница интервала, в котором находится медиана (медианный интервал);

i- величина медианного интервала; n- объем выборки; f- частота медианного интервала;

F- накопленная частота интервала, предшествующему медианному.

В нашем случае n=67, следовательно, медиана равна члену, стоящему на (n+1)/2=34-м месте в вариационном ряду. По накопленным частотам заключаем, что этот член находится в интервале (11,17). Следовательно, медианный интервал (11,17). Тогда L=11, i=6, (n+1)/2=34, f=25, F=18 и, следовательно

Медиана = 11+6×.

Мода находится по формуле Мода= L+i

где L- нижняя граница модального интервала, i- величина модального интервала

f_мо, f_мо-1, f_мо+1 частота модального, предшествующего модальному и следующего за модальным интервала. В нашем случае модальный интервал [11,17], т.к. имеет наибольшую частоту. Тогда L=11, i=6,

f_мо=25, f_мо-1=18, f_мо+1=14; Мода =

Пример 17. Найти 97,5% доверительный интервал для неизвестного параметра а нормально распределенного признака, если известно s=7,3. По выборке объема n=64 найдено .

Решение Требуемый доверительный интервал равен

,

где надежность g=0,975 позволяет найти U_g из уравнения 2Ф(U_g)=0,975. Из таблицы 4 приложения находим U_g=2,24. Тогда

;

120,3-2,044<a<120,3+2,044;118,256<a<122,344.

Пример 18. В условиях предыдущего примера, определите минимальный объем выборки, чтобы с надежностью g=0,975 точность оценки была не больше 0,5.

Решение: Точность оценки зависит от выражения

Подставляя U_g=2,24 ; s²=7,3²=53,29 ; e²=0,5²=0,25 ,получим

Таким образом, минимальный объем выборки должен составлять 1070 измерений.

Пример 19. По выборке объема n=25 найдены . Считая, что наблюдаемый признак имеет нормальное распределение найдите доверительный интервал с надежностью 0,9.

Решение. Искомый доверительный интервал равен

где находится по таблице 5 приложения:

Здесь a=1-g=0,1; К=n-1=25-1=24, тогда t_0,1(24)=1,711. Итак,

e; 16,3-0,71<a<16,3+0,71; 15,59<a<17,01.

Пример 20 Признак имеет нормальное распределение. По выборке объема n=30 найдена оценка дисперсии S² =1,5. Найдите 95% доверительный интервал для дисперсии.

Решение: Доверительный интервал определяется так

,

Здесь a=1-0,95=0,05;  тогда из таблицы 7 приложения находим

, 0,95<s²<2,7.

Пример 21. Произведено 529 испытаний, в которых события А наблюдалось 70 раз. Найдите 93% доверительный интеграл для вероятности р события А.

Решение. Искомый доверительный интервал находится так: р₁<p<p₂, где

,

здесь g=0,93, U_g находится из уравнения Ф(U_g)=g/2=0,465Þ по таблице 4 функции Лапласа находим U_g=1,811. Вычислим

Итак: 0,1323-0,0267<p<0,1323+0,0267; 0,1056<p<0,159.

Пример 22. Необходимо проверить точность работы двух агрегатов А и В по контролируемому признаку. Для этого были взяты две выборки n_A=9, n_B=12 соответственно, по которым найдено . Требуется проверить гипотезу о том, что точность работы агрегатов одинакова, если известна, что контролируемый признак имеет нормальное распределение.

Решение: Проверку проведем по F-критерию:

,

здесь

m₁=n_A-1=9-1=8, т.к. А имеет большую дисперсию, m₂=n_В-1=12-1=11. По таблице, находим при a=0,1 F_кр=F(a/2=0,05;8;11)=2,95. Т.к. F_наб.<F_кр., то нет основания считать, что точность работы агрегатов разная.

Пример 23. Нужно проверить влияние двух различных кормовых добавок на увеличение веса свиней. Для этого 10 свиней кормили с добавкой А, а других 8 с добавкой В. По выборочным данным вычислим

Решение Уровень значимости возьмем a=0,1.Первый этап. Проверим гипотезу о равенстве дисперсии

.

Т.к. F_наб<F_кр, то гипотезу о равенстве дисперсий принимаем. Второй этап. Проверим гипотезу о равенстве увеличения веса для двух добавок (Н₀:МХ=МУ).

Используем t – критерий:

.

Выберем a=0,05. Найдем для k=n₁+n₂-2=10+8-2=16 степеней свободы по таблице 5 приложения t_кр=t(0,05;16)=2,12. Т.к.½t_наб½>t_кр, то различия признаются существенными. Следовательно добавка В дает больший привес в весе.

Пример 24. Фактический сбыт в шести районах характеризуется таблицей (выборкой).

Район	1	2	3	4	5	6
Объем сбыта	90	130	110	85	75	110

Согласуются ли эти результаты с предложением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков?

Решение: Выберем уровень значимости a=0,05. Если гипотеза Н₀: сбыт одинаков - верна, то теоретически объем сбыта в 600 у.е. (90+130+110+85+75+110=600) должен распределиться одинаково по шести районам, т.е. по 100 у.е. на каждый район. Дальнейшие вычисления сведем в таблицу.

Район
1 2 3 4 5 6	90 130 110 85 75 110	100 100 100 100 100 100	100 900 100 225 625 100	1 9 1 2,25 6,25 1
S				20,5

Таким образом:

 

Т.к. мы не оценивали ни один параметр, то по числу степеней свободы k=6-1=5 и уровню значимости a=0,05 по таблице 7 приложения находим  , то различие в сбыте по районам признается значимым и не может быть объяснено действием случайного фактора.

Пример_25. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки:

Интервал	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Частота	2	4	8	12	16	10	3

Решение: Для проверки гипотезы будем использовать критерий Пирсона. Уровень значимости выберем a=0,1. Т.к. нормальное распределение определяется двумя параметрами а и s², то оценим их по выборке, объем которой равен: n=2+4+8+12+16+10+3=55.

Итак:

 

Для удобства вычисления статистики  будем промежуточные результаты вносить в таблицу. Объединим крайние интервалы с соседними, так, чтобы выполнилось условие  

I	II	III	IV	V	VI
№ интервала	Интервал		Pi
1 2 3 4 5	-¥;14 14;16 16;18 18;20 20;+¥	6 8 12 16 13	0,0959 0,1686 0,2576 0,2484 0,2295	5,274 9,273 14,168 13,662 12,623	0,010 0,175 0,332 0,400 0,011
		n=55	1		0,928

Здесь Р_i- вероятность того, что с.в. Х попадает в соответствующий интервал D_i при условии, что она имеет нормальное распределение с параметрами а=17,84; s²=8,53 (s=2,92). Например, используя таблицу 4 приложения, находим:

Значения в V столбце вычисляются так:

 и т.д.

Значения в VI столбце вычисляются так:

Тогда сумма VI столбца даст значение  Теперь найдем  по таблице 7 приложения при уровне значимости a=0,1. Т.к. после объединения интервалов у нас осталось r=5- интервалов и по выборке мы оценили два (S=2) параметра а и s, то для нахождения  параметр число степеней свободы будет равен k=r-s-1=5-2-1=2. Тогда Так как  (т.е. 0,928<4,61), то гипотезу о нормальном распределении можно принять.

Пример_26. Построить линию регрессии в виде  Можно ли использовать ее в дальнейших прогнозах?

xi	4	5	8	8	10	12
yi	0,5	4,2	12,7	13,6	19,2	24,8

Решение: Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид  , где -условная средняя (при фиксированным х); -выборочные средние; -несмещенные оценки дисперсии; r_B- выборочный коэффициент корреляции: .

n=6, т.к. наблюдалось 6 точек вида (x_i;y_i);

S_x=3 ; S_y=9,06 ;=4×0,5+5×4,2+8×12,7+8×13,6+10×19,2+12××24,8=723

r_B=(723-6×7,83×12,5)/(6×3×9,06)=0,832.

Уравнение регрессии:

.

Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции, т.е. H₀:r=0, H₁:r¹0.

Вычислим статистику критерия:

 

По уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы k=n-2=6-2=4 из таблицы находим двухстороннюю критическую область t_кр=2,776. Так как ½t_наб½>t_кр , то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем, т.е. считаем, что r¹0.

Найдем, коэффициент детерминации Так как R²<0,75 (0,75-шаблонное значение), то уравнением регрессии пользоваться не рекомендуется. В дальнейшем, т.к. зависимость между X и Y существует (r¹0), следует либо изменить вид зависимости, либо увеличить число наблюдений и провести анализ зависимости снова.

Таблица 1. Плотность стандартного нормального распределения

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0,39894	0,39892	0,39886	0,39876	0,39862	0,39844	0,39822	0,39797	0,39767	0,39733
0,1	0,39695	0,39654	0,39608	0,39559	0,39505	0,39448	0,39387	0,39322	0,39253	0,39181
0,2	0,39104	0,39024	0,38940	0,38853	0,38762	0,38667	0,38568	0,38466	0,38361	0,38251
0,3	0,38139	0,38023	0,37903	0,37780	0,37654	0,37524	0,37391	0,37255	0,37115	0,36973
0,4	0,36827	0,36678	0,36526	0,36371	0,36213	0,36053	0,35889	0,35723	0,35553	0,35381
0,5	0,35207	0,35029	0,34849	0,34667	0,34482	0,34294	0,34105	0,33912	0,33718	0,33521
0,6	0,33322	0,33121	0,32918	0,32713	0,32506	0,32297	0,32086	0,31874	0,31659	0,31443
0,7	0,31225	0,31006	0,30785	0,30563	0,30339	0,30114	0,29887	0,29659	0,29431	0,29200
0,8	0,28969	0,28737	0,28504	0,28269	0,28034	0,27798	0,27562	0,27324	0,27086	0,26848
0,9	0,26609	0,26369	0,26129	0,25888	0,25647	0,25406	0,25164	0,24923	0,24681	0,24439
1	0,24197	0,23955	0,23713	0,23471	0,23230	0,22988	0,22747	0,22506	0,22265	0,22025
1,1	0,21785	0,21546	0,21307	0,21069	0,20831	0,20594	0,20357	0,20121	0,19886	0,19652
1,2	0,19419	0,19186	0,18954	0,18724	0,18494	0,18265	0,18037	0,17810	0,17585	0,17360
1,3	0,17137	0,16915	0,16694	0,16474	0,16256	0,16038	0,15822	0,15608	0,15395	0,15183
1,4	0,14973	0,14764	0,14556	0,14350	0,14146	0,13943	0,13742	0,13542	0,13344	0,13147
1,5	0,12952	0,12758	0,12566	0,12376	0,12188	0,12001	0,11816	0,11632	0,11450	0,11270
1,6	0,11092	0,10915	0,10741	0,10567	0,10396	0,10226	0,10059	0,09893	0,09728	0,09566
1,7	0,09405	0,09246	0,09089	0,08933	0,08780	0,08628	0,08478	0,08329	0,08183	0,08038
1,8	0,07895	0,07754	0,07614	0,07477	0,07341	0,07206	0,07074	0,06943	0,06814	0,06687
1,9	0,06562	0,06438	0,06316	0,06195	0,06077	0,05959	0,05844	0,05730	0,05618	0,05508
2	0,05399	0,05292	0,05186	0,05082	0,04980	0,04879	0,04780	0,04682	0,04586	0,04491
2,1	0,04398	0,04307	0,04217	0,04128	0,04041	0,03955	0,03871	0,03788	0,03706	0,03626
2,2	0,03547	0,03470	0,03394	0,03319	0,03246	0,03174	0,03103	0,03034	0,02965	0,02898
2,3	0,02833	0,02768	0,02705	0,02643	0,02582	0,02522	0,02463	0,02406	0,02349	0,02294
2,4	0,02239	0,02186	0,02134	0,02083	0,02033	0,01984	0,01936	0,01888	0,01842	0,01797
2,5	0,01753	0,01709	0,01667	0,01625	0,01585	0,01545	0,01506	0,01468	0,01431	0,01394
2,6	0,01358	0,01323	0,01289	0,01256	0,01223	0,01191	0,01160	0,01130	0,01100	0,01071
2,7	0,01042	0,01014	0,00987	0,00961	0,00935	0,00909	0,00885	0,00861	0,00837	0,00814
2,8	0,00792	0,00770	0,00748	0,00727	0,00707	0,00687	0,00668	0,00649	0,00631	0,00613
2,9	0,00595	0,00578	0,00562	0,00545	0,00530	0,00514	0,00499	0,00485	0,00470	0,00457
3	0,00443	0,00430	0,00417	0,00405	0,00393	0,00381	0,00370	0,00358	0,00348	0,00337
3,1	0,00327	0,00317	0,00307	0,00298	0,00288	0,00279	0,00271	0,00262	0,00254	0,00246
3,2	0,00238	0,00231	0,00224	0,00216	0,00210	0,00203	0,00196	0,00190	0,00184	0,00178
3,3	0,00172	0,00167	0,00161	0,00156	0,00151	0,00146	0,00141	0,00136	0,00132	0,00127
3,4	0,00123	0,00119	0,00115	0,00111	0,00107	0,00104	0,00100	0,00097	0,00094	0,00090
3,5	0,00087	0,00084	0,00081	0,00079	0,00076	0,00073	0,00071	0,00068	0,00066	0,00063
3,6	0,00061	0,00059	0,00057	0,00055	0,00053	0,00051	0,00049	0,00047	0,00046	0,00044
3,7	0,00042	0,00041	0,00039	0,00038	0,00037	0,00035	0,00034	0,00033	0,00031	0,00030
3,8	0,00029	0,00028	0,00027	0,00026	0,00025	0,00024	0,00023	0,00022	0,00021	0,00021

Таблица 4. Функция Лапласа.

( заштрихованная площадь под кривой равна значению функции Лапласа )
								о	x
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,00000	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,02790	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,04380	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,12930	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,15910	0,16276	0,16640	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,20540	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,22240
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,25490
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,26730	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,28230	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1,0	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,36650	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,37900	0,38100	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,40320	0,40490	0,40658	0,40824	0,40988	0,41149	0,41308	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,42220	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,43056	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,44520	0,44630	0,44738	0,44845	0,44950	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,46080	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,47320	0,47381	0,47441	0,47500	0,47558	0,47615	0,47670
2,0	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,48030	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,48300	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,48500	0,48537	0,48574
2,2	0,48610	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,48840	0,48870	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,49010	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,49180	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,49430	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,49520
2,6	0,49534	0,49547	0,49560	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,49720	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,49760	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3,0	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,49900
3,1	0,49903	0,49906	0,49910	0,49913	0,49916	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,49940	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,49950
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,49960	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,49970	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,49980	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,49990	0,49990	0,49990	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
4,0	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49998	0,49998	0,49998	0,49998
4,5	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000

Таблица 3. Распределение Стьюдента.

Таблица 5. Распределение Стьюдента ( t-распределение).
(k-степени свободы,  - заданная вероятность )
k	
	0,10	0,05		0,025			0,020		0,010		0,005		0,003		0,002		0,001
1	6,314	12,706		25,452			31,821		63,656		127,321		212,193		318,289		636,578
2	2,920	4,303		6,205			6,965		9,925		14,089		18,217		22,328		31,600
3	2,353	3,182		4,177			4,541		5,841		7,453		8,891		10,214		12,924
4	2,132	2,776		3,495			3,747		4,604		5,598		6,435		7,173		8,610
5	2,015	2,571		3,163			3,365		4,032		4,773		5,376		5,894		6,869
6	1,943	2,447		2,969			3,143		3,707		4,317		4,800		5,208		5,959
7	1,895	2,365		2,841			2,998		3,499		4,029		4,442		4,785		5,408
8	1,860	2,306		2,752			2,896		3,355		3,833		4,199		4,501		5,041
9	1,833	2,262		2,685			2,821		3,250		3,690		4,024		4,297		4,781
10	1,812	2,228		2,634			2,764		3,169		3,581		3,892		4,144		4,587
11	1,796	2,201		2,593			2,718		3,106		3,497		3,789		4,025		4,437
12	1,782	2,179		2,560			2,681		3,055		3,428		3,707		3,930		4,318
13	1,771	2,160		2,533			2,650		3,012		3,372		3,639		3,852		4,221
14	1,761	2,145		2,510			2,624		2,977		3,326		3,583		3,787		4,140
15	1,753	2,131		2,490			2,602		2,947		3,286		3,535		3,733		4,073
16	1,746	2,120		2,473			2,583		2,921		3,252		3,494		3,686		4,015
17	1,740	2,110		2,458			2,567		2,898		3,222		3,459		3,646		3,965
18	1,734	2,101		2,445			2,552		2,878		3,197		3,428		3,610		3,922
19	1,729	2,093		2,433			2,539		2,861		3,174		3,401		3,579		3,883
20	1,725	2,086		2,423			2,528		2,845		3,153		3,376		3,552		3,850
21	1,721	2,080		2,414			2,518		2,831		3,135		3,355		3,527		3,819
22	1,717	2,074		2,405			2,508		2,819		3,119		3,335		3,505		3,792
23	1,714	2,069		2,398			2,500		2,807		3,104		3,318		3,485		3,768
24	1,711	2,064		2,391			2,492		2,797		3,091		3,302		3,467		3,745
25	1,708	2,060		2,385			2,485		2,787		3,078		3,287		3,450		3,725
26	1,706	2,056		2,379			2,479		2,779		3,067		3,274		3,435		3,707
27	1,703	2,052		2,373			2,473		2,771		3,057		3,261		3,421		3,689
28	1,701	2,048		2,368			2,467		2,763		3,047		3,250		3,408		3,674
29	1,699	2,045		2,364			2,462		2,756		3,038		3,239		3,396		3,660
30	1,697	2,042		2,360			2,457		2,750		3,030		3,230		3,385		3,646
40	1,684	2,021		2,329			2,423		2,704		2,971		3,160		3,307		3,551
50	1,676	2,009		2,311			2,403		2,678		2,937		3,120		3,261		3,496
60	1,671	2,000		2,299			2,390		2,660		2,915		3,094		3,232		3,460
100	1,660	1,984		2,276			2,364		2,626		2,871		3,042		3,174		3,390
S	1,645	1,960		2,241			2,326		2,576		2,807		2,968		3,090		3,291

Таблица 4. Распределение Пирсона

k-число степеней свободы
(В таблицах по заданным  находятся  )
k	
	0,99		0,975		0,95		0,9		0,01	0,025	0,05	0,1
1	0,00016		0,00098		0,00393		0,01579		6,63489	5,02390	3,84146	2,70554
2	0,0201		0,0506		0,1026		0,2107		9,2104	7,3778	5,9915	4,6052
3	0,1148		0,2158		0,3518		0,5844		11,3449	9,3484	7,8147	6,2514
4	0,297		0,484		0,711		1,064		13,277	11,143	9,488	7,779
5	0,554		0,831		1,145		1,610		15,086	12,832	11,070	9,236
6	0,872		1,237		1,635		2,204		16,812	14,449	12,592	10,645
7	1,239		1,690		2,167		2,833		18,475	16,013	14,067	12,017
8	1,647		2,180		2,733		3,490		20,090	17,535	15,507	13,362
9	2,088		2,700		3,325		4,168		21,666	19,023	16,919	14,684
10	2,558		3,247		3,940		4,865		23,209	20,483	18,307	15,987
11	3,053		3,816		4,575		5,578		24,725	21,920	19,675	17,275
12	3,571		4,404		5,226		6,304		26,217	23,337	21,026	18,549
13	4,107		5,009		5,892		7,041		27,688	24,736	22,362	19,812
14	4,660		5,629		6,571		7,790		29,141	26,119	23,685	21,064
15	5,229		6,262		7,261		8,547		30,578	27,488	24,996	22,307
16	5,812		6,908		7,962		9,312		32,000	28,845	26,296	23,542
17	6,408		7,564		8,672		10,085		33,409	30,191	27,587	24,769
18	7,015		8,231		9,390		10,865		34,805	31,526	28,869	25,989
19	7,633		8,907		10,117		11,651		36,191	32,852	30,144	27,204
20	8,260		9,591		10,851		12,443		37,566	34,170	31,410	28,412
21	8,897		10,283		11,591		13,240		38,932	35,479	32,671	29,615
22	9,542		10,982		12,338		14,041		40,289	36,781	33,924	30,813
23	10,196		11,689		13,091		14,848		41,638	38,076	35,172	32,007
24	10,856		12,401		13,848		15,659		42,980	39,364	36,415	33,196
25	11,524		13,120		14,611		16,473		44,314	40,646	37,652	34,382
26	12,198		13,844		15,379		17,292		45,642	41,923	38,885	35,563
27	12,878		14,573		16,151		18,114		46,963	43,195	40,113	36,741
28	13,565		15,308		16,928		18,939		48,278	44,461	41,337	37,916
29	14,256		16,047		17,708		19,768		49,588	45,722	42,557	39,087
30	14,953		16,791		18,493		20,599		50,892	46,979	43,773	40,256
31	15,655		17,539		19,281		21,434		52,191	48,232	44,985	41,422
32	16,362		18,291		20,072		22,271		53,486	49,480	46,194	42,585
33	17,073		19,047		20,867		23,110		54,775	50,725	47,400	43,745
34	17,789		19,806		21,664		23,952		56,061	51,966	48,602	44,903
37	19,960		22,106		24,075		26,492		59,893	55,668	52,192	48,363
40	22,164		24,433		26,509		29,051		63,691	59,342	55,758	51,805

ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. - М: Финансы и статистика., 1983г.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1999г.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1999г.

4. Ковалев Е.А. Вероятность и статистика. Тольятти, 2003г.

5. Ковалев Е.А. Задачник по теории вероятностей. Тольятти, 2002г.

6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Юнита, 2001 г.