Функции и их производные

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ВАРИАНТ 4.3

№ 1.

а) Найти производные от данных функций:

б)

Применяем правило нахождения производной произведения функций

в)

№ 2

Дана функция

Найти:

а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)

По определению:

б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}

По определению:

Величины  найдены в п.а)

Найдем cosб, cosв, cosг.

По формуле получаем:

№ 3.

Дана функция .

Найти y”. Вычислить y”(-1).

№ 4.

Доказать, что функция  удовлетворяет уравнению

подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать.

№5

Найти  если

Вычислить  если .

Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически

№ 6.

Функции задана неявно уравнением

Вычислить:

а)

Вычисления проводим по формуле

б)

№ 7.

На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.

Из геометрического смысла производной  имеем

№ 8.

Найти dy, если у=х⁶. Вычислить значение dy, если

 

Для  имеем

№ 9.

Дана функция  и точки  и

Вычислить Дz и dz при переходе из точки М₀ в точку М₁ . Приращение функции Дz равно

Дифференциал функции dz равен

№ 10.

Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем

Приравниваем числитель к нулю при условии

Решение  отбрасываем.

 совпадает с граничным значением.

Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.

Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3.

№ 11

Дана функция .

Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми .

Найдем стационарные точки из системы уравнений

Решаем систему уравнений

Сделаем чертеж

На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной

Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.

На участке у=-1 получаем

Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем , отсюда .

Находим

На участке границы у=1-х получаем функцию

Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].

На границах отрезка

Сравниваем все найденные значения функции

видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).

Ответ: 23;4.

№ 12.

Провести полное исследование функции  и начертить ее график.

1. Найдем область определения функции .

Функция непериодична.

2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции , симметрии нет.

3. Определим «поведение функции в бесконечности»

4. Точка разрыва х=-2

5. найдем пересечение кривой с осями координат

 т.А (0;2)

Корней нет, нет пересечения с осью OY.

6. Найдем точки максимума и минимума

в точке  производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке  производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.

При  первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при  производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.

7. Найдем точки перегиба

, точек перегиба нет. При  вогнутость вверх, при , вогнутость вниз.

8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде , где

Получили асимптоту у=х.

Найдем пересечение кривой с асимптотой

 Точек пересечения нет.

Строим график