P = Æ;

1.         P = Æ;

2.         P = P È P_i для каждого подмножества P_i множества K, для которого путь из корня в вершину Current содержит (2^|Pi|×m-1) вершин, помеченных подмножествами P_i (или (2^|Pi|×m-1) вершин в случае s0 Î P_i);

3.         P = P È P_j для всех существующих пар P_i Î P и P_j Ï P (P_j Ì K) таких, что P_i Ç P_j = Q и путь из корня в вершину Current содержит (2^{(|Pj|-|Q|)×m}-1) вершин, помеченных подмножествами P_j, если s0 Ï P_j или s0 Î Q, либо (2^{(|Pj|-|Q|)×m-1}) вершин в случае s0 Î P_j.

Шаг 2. Включаем в TS каждую входную последовательность, которая помечает путь из корня к листу в усеченном дереве.

Теорема 2.

Для заданного эталонного автомата S и целого числа m алгоритм 3 доставляет полный проверяющий тест относительно модели неисправности <S, (£,≁),Â_m >.

Доказательство.

1.         Рассмотрим самый общий случай – подмножество K состояний из множества S, и начальное состояние s₀ Ï K. Согласно алгоритму 1, вершина усеченного дерева преемников Tree_S, помеченная подмножеством K, объявляется листом дерева, если путь из корня в эту вершину содержит 2^|K|×m вершин, помеченных подмножествами множества К. Это соответствует перебору всех возможных подмножеств К¢ в усеченном дереве приемников Tree_ST, построенному по пересечению эталонного автомата S и некоторой реализации T, где К¢ – это подмножество состояний пересечения S  T таких, что первый символ каждой пары из К¢ содержится в К.

Предположим, что существует такое подмножество состояний P из множества K, что до некоторого l^го уровня дерева на пути из корня в вершину Current перебраны все возможные подмножества P. Множество P строится итеративно следующим образом:

Шаг 1. P = Æ.

Шаг 2. P = P È P_i для каждого подмножества P_i множества K, для которого путь из корня в вершину Current содержит (2^|Pi|×m-1) вершин, помеченных подмножествами P_i. Добавление каждого такого P_i в множество P справедливо, т.к. если путь содержит указанное количество повторов, то этим перебираются все возможные варианты подмножеств P_i.

Шаг 3. P = P È P_j для всех существующих пар P_i Î P и P_j Ï P (P_j Ì K) таких, что P_i Ç P_j = Q и путь из корня в вершину Current содержит (2^{(|Pj|-|Q|)×m}-1) вершин, помеченных подмножествами P_j. В данном случае P_i уже было добавлено в P на шаге 2, и для него уже встретилось (2^|Pi|×m-1) вершин, помеченных подмножествами P_i. Следовательно, для P_j, пересекающегося с P_i, на данном пути дерева уже точно содержится (2^|Q|×m-1) вершин, помеченных подмножествами P_j, значит для того, чтобы были перебраны все варианты подмножеств P_j, достаточно встретить еще (2^{(|Pj|-|Q|)×m}-1) вершин.

Для построенного таким образом P (если P ¹ Æ) на соответствующем пути в дереве Tree_STбудут перебраны все возможные подмножества P¢ (P¢ – это подмножество состояний S  T таких, что первый символ каждой пары из P¢ содержится в P). Значит, далее на данном пути в дереве Tree_ST из рассмотрения можно исключить вершины, помеченные подмножествами К¢, которые содержат подмножества P¢ – поэтому рассматриваемых вершин, помеченных подмножествами K, не содержащих подмножеств P, будет 2^(|K|-|P|)×m . Но также необходимо учесть все n вершин, помеченных подмножествами К, содержащими подмножества P, которые встретились на рассматриваемом пути в дереве Tree_S выше, чем l^й уровень, т.к. из данных вершин подмножества P исключать не можем. Следовательно, количество вершин, помеченных подмножествами K, для усечения дерева в таком случае составляет 2^(|K|-|P|)×m+n вершин.

2.         Далее рассмотрим случай, когда s₀ Î K, но s₀ не принадлежит множеству P. По алгоритму 1 для случая s₀ Î K вершина, помеченная подмножеством K, объявляется листом, если путь из корня в данную вершину содержит (2^|K|×m-1+1) вершин, помеченных подмножествами множества K. Если же на данном пути для каждого P_iÎ P встретилось, как и в предыдущем случае, необходимое число вершин, помеченных подмножествами P_i, то листовой будет являться вершина, путь из корня в которую содержит 2^{(|K|-|P|)×m-1}+n+1 вершин, помеченных подмножествами K.

3.         Если s₀ Î K и s₀ Î P, т.е. s₀ принадлежит одному из подмножеств P_j Î P, то необходимо, чтобы на рассматриваемом пути дерева встретилось (2^|Pj|×m-1) вершин, помеченных подмножествами P_j, если P_j добавляется к P на шаге 2 построения множества P, либо (2^{(|Pj|-|Q|)×m-1}) вершин – если на шаге 3. Для остальных подмножеств P_i из P требуется встретить такое же количество вершин, как и в случае 1. Тогда можно исключить подмножества P из вершин, помеченных подмножествами K начиная с l^го уровня, и вершина, помеченная подмножеством K, объявляется листом, если путь из корня в данную вершину содержит 2^(|K|-|P|)×m+n вершин, помеченных подмножествами множества K.

4.         Если для данного пути дерева P = Æ, то |P| = 0, n = 0 и пользуемся алгоритмом 2.

На рисунке 9 представлено усеченное дерево преемников для спецификации, изображенной на рис. 5, построенное согласно алгоритму 3. Суммарная длина полного проверяющего теста в этом случае составляет 200 символов, что на 77 символов меньше, чем для алгоритма 2.

Рисунок 9 – Усеченное дерево преемников, построенное по алгоритму 3

 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ   В данной работе изучен метод построения тестов для недетерминированных автоматов относительно модели "черного ящика", предложенный в работе [1]. Этот метод, в отличие от других методов синтеза тестов для недетерминированных автоматов, не ориентирован на выполнение предположения "о всех погодных условиях". Исследованы возможные подходы к улучшению рассмотренного метода и предложена модификация данного метода. Показано, что тест, построенный согласно модифицированному методу, будет по-прежнему полным, но при этом менее избыточным.
ЛИТЕРАТУРА

1.         Natalia Shabaldina, Khaled El-Fakih, Nina Yevtushenko. Testing Nondeterministic Finite State Machines With Respect to the Separability Relation. Lecture Notes in Computer Science, 2007(4581), pp. 305-318.

2.         Шабалдина Н.В., Евтушенко Н.В. Построение тестов для конечных автоматов относительно неразделимости. Вестник ТГУ. Приложение. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". 2007. № 23. С. 287– 290.

3.         Евтушенко Н.В., Петренко А.Ф., Ветрова М.В. Недетерминированные автоматы: анализ и синтез. Ч. 1. Отношения и операции. – Томск: Томский государственный университет, 2006. – 142 с.

4.         Евтушенко Н.В., Спицина Н.В. О верхней оценке длины разделяющей последовательности