S связно

1.         S связно.

2.         S нульмерно, замкнуто в R⁺ и 0 – предельная точка для S.

3.         S нульмерно, не замкнуто в R⁺ и 0 – предельная точка для S.

4.         Точка 0 изолирована в S.

Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы , которые являются связными множествами. Пусть  несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент , то  для любого N и последовательность  сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка для S, множество  при этом может быть как замкнутым в R⁺, так и не замкнутым. Предложение доказано.

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**)

В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S, которые обладают одним из следующих свойств:

(*)  (a<b);

(**)  (0<a<b).

Лемма 8. Полугруппа S, удовлетворяющая хотя бы одному из свойств (*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД(a,b)= max{a,b}, НОК(a,b)= min{a,b} для любых a,bS, а во втором случае – НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}, если числа  и  не равны нулю.

Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента  имеют НОД и НОК. По свойству (*) a =  и S. Получили, что элемент b является делителем a. Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a,b) = b = max{a,b} и НОК(a,b) = а = min{a,b}. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S обладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов  и  НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a,b) = НОД(а,0) = а и НОК(a,b) = НОК(а,0) = а.

Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (*) существует элемент c > 1, то S \ {0} – группа.

Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acⁿ > 1 для некоторого nN. Тогда 1 / acⁿ S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acⁿ) cⁿ S.

Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (*) относится к одному из следующих классов:

1.         S = [0,1].

2.         S = R⁺.

3.         S = {rⁿ | n = 0,1,2,…}, где 0 < .

4.         S = {rⁿ | nZ}, где 0 < .

5.         S – нульмерное плотное подпространство в [0,1].

6.         S – нульмерное плотное подпространство в R⁺.

7.         S = {0,1}.

Доказательство. Если  связно, S= или S=R⁺ по лемме 1.

Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R⁺). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S. Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (е_n), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d, что (c,d) =  по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (e_n,d) элементов из S сходится к числу d. Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда  . Возьмем произвольный ненулевой элемент  из . Для него  при некотором N. По свойству (*) получаем  и . Поскольку , то . Тогда в случае S имеем 0,1,2,…, а в противном случае Z по лемме 9.

Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0а_nS, сходящаяся к некоторому аS. Пусть b_n = a_n / a_n+1, если (a_n) возрастает, и b_n = a_n+1 / a_n, если она убывает. Тогда b_nS (N) и b_n1 при . Возьмем произвольное число с(0,1). Для каждого N найдется такое k(n)N, что . Тогда имеем  и .

Следовательно, числа N из  образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S, то получаем случай 5. Если же S, то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.

Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов:

1.         S = R⁺.

2.         S = {rⁿ | nÎN}, где .

3.         S = {rⁿ | nZ}, где .

4.         S\{0} – нульмерное плотное подпространство в [1,).

5.         S – нульмерное плотное подпространство в R⁺.