2. Методы решения системы нелинейных уравнений

 

2.1.Метод простой итерации

Представим систему (1) в виде

(3)

или в векторной форме:

(4)

Алгоритм метода простой итерации состоит в следующем. Выберем некоторое нулевое приближение

 

Следующее приближение находим по формулам:

 


или более подробно:

(5)

Итерационный процесс (5) продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е.

На практике часто вместо последнего условия используют неравенство:

(6)

где - среднеквадратичная норма n-мерного вектора , т.е.

При использовании данного метода успех во многом определяется удачным выбором начального приближения : оно должно быть достаточно близким к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Если процесс сходится, то его скорость сходимости является линейной.

 

2.2. Метод Ньютона

В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации.

Пусть известно некоторое приближение  к корню , так что

 

Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом:

Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки  и ограничиваясь линейными членами по отклонению , получим:

,

или в координатной форме:

(8)

Систему (8) можно переписать в виде:


(9)

Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений

.

Значение функций F1, F2, …, Fn и их производные в (9) вычисляются при

.

Определителем системы (9) является якобиан J:

(10)

Для существования единственного решения системы уравнений (9) он должен быть отличен от нуля. Решив систему (9), например, методом Гаусса, найдём новое приближение:

.

Проверяем условие (6). Если оно не удовлетворяется, находим  и якобиан (10) с новым приближением и опять решаем (9), таким образом, находим 2-е приближение и т.д.

Итерации прекращаются, как только выполнится условие (6).

Задание

Используя метод Ньютона, найдите решения системы нелинейных уравнений с заданной точностью . Исследуйте сходимость итерационного процесса.

Варианты заданий

1 2

 3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14.

15. 16.

 17. 18.

19. 20.

21. 22.


Информация о работе «Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 10711
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 8

Похожие работы

Скачать
37732
2
12

... - функции f. Дальше, имеем: . Отсюда , где W'(x) - транспонированная матрица Якоби. Поэтому окончательно , причем . 3. Программная реализация итерационных методов Реализация алгоритмов итерационных методов решения систем нелинейных уравнений будет показана на примере системы: 3.1 Метод простых итераций Приведём систему к виду: Проверим условие ...

Скачать
35539
6
3

... вычисляют в следующем порядке: xjn, xjn–1, …, xj1. 3. Метод Зейделя 3.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b   с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx + c. Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, ...

Скачать
4486
0
0

... , где Fi – функция n переменных. Решением СНАУ является вектор X=(X1,…,Xn), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство. При n=3 – точка пересечения трёх поверхностей. Модифицированный метод Ньютона – один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X0. Суть ...

Скачать
50501
1
22

... на языке Turbo Pascal 7.0 для решении систем линейных алгебраических уравнений, используя метод простой итерации. 1.2 Математическая формулировка задачи Пусть А – невырожденная матрица и нужно решить систему где диагональные элементы матрицы А ненулевые. 1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи   Метод Гаусса В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных ...

0 комментариев


Наверх