Навигация
Методы решения системы нелинейных уравнений
10711
знаков
0
таблиц
8
изображений
2. Методы решения системы нелинейных уравнений
2.1.Метод простой итерации
Представим систему (1) в виде
(3)
или в векторной форме:
(4)
Алгоритм метода простой итерации состоит в следующем. Выберем некоторое нулевое приближение
Следующее приближение находим по формулам:
или более подробно:
(5)
Итерационный процесс (5) продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е.
На практике часто вместо последнего условия используют неравенство:
(6)
где 
- среднеквадратичная норма n-мерного вектора 
, т.е.
При использовании данного метода успех во многом определяется удачным выбором начального приближения 
: оно должно быть достаточно близким к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Если процесс сходится, то его скорость сходимости является линейной.
2.2. Метод Ньютона
В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации.
Пусть известно некоторое приближение 
к корню 
, так что
Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом:
Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки 
и ограничиваясь линейными членами по отклонению 
, получим:
,
или в координатной форме:
(8)
Систему (8) можно переписать в виде:
(9)
Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений
.
Значение функций F1, F2, …, Fn и их производные в (9) вычисляются при
.
Определителем системы (9) является якобиан J:
(10)
Для существования единственного решения системы уравнений (9) он должен быть отличен от нуля. Решив систему (9), например, методом Гаусса, найдём новое приближение:
.
Проверяем условие (6). Если оно не удовлетворяется, находим 
и якобиан (10) с новым приближением и опять решаем (9), таким образом, находим 2-е приближение и т.д.
Итерации прекращаются, как только выполнится условие (6).
Задание
Используя метод Ньютона, найдите решения системы нелинейных уравнений с заданной точностью 
. Исследуйте сходимость итерационного процесса.
Варианты заданий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14. 
15.
16. 
17.
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
Похожие работы
... - функции f. Дальше, имеем: . Отсюда , где W'(x) - транспонированная матрица Якоби. Поэтому окончательно , причем . 3. Программная реализация итерационных методов Реализация алгоритмов итерационных методов решения систем нелинейных уравнений будет показана на примере системы: 3.1 Метод простых итераций Приведём систему к виду: Проверим условие ...
... вычисляют в следующем порядке: xjn, xjn–1, …, xj1. 3. Метод Зейделя 3.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx + c. Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, ...
... , где Fi – функция n переменных. Решением СНАУ является вектор X=(X1,…,Xn), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство. При n=3 – точка пересечения трёх поверхностей. Модифицированный метод Ньютона – один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X0. Суть ...
... на языке Turbo Pascal 7.0 для решении систем линейных алгебраических уравнений, используя метод простой итерации. 1.2 Математическая формулировка задачи Пусть А – невырожденная матрица и нужно решить систему где диагональные элементы матрицы А ненулевые. 1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи Метод Гаусса В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных ...
0 комментариев