Навигация
Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века
26399
знаков
0
таблиц
0
изображений
3. Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века
В развитии математики, механики, физики и всего естествознания в России и западноевропейских странах XVIII века особую роль сыграли труды величайшего математика и механика XVIII века Леонарда Эйлера.
Несмотря на то, что на протяжении предшествующих столетий механика и геометрия настоятельно ставили перед мыслителями задачи изучения зависимости между переменными величинами, понятие о взаимозависимости таких величин не получило аналитического выражения. Не только у Лейбница, но и у Даламбера понятие зависимости между переменными носило геометрический характер, так как они рассматривали зависимости между отрезками прямых. Введя само слово «функция», Лейбниц начиная с 1692 года называет им отрезки любых прямых, связанных тем или иным образом с точками определенной величины – флюенты, по его терминологии, служит некоторая равномерно текущая величина, аналогичная времени.
Между тем совокупность отдельных классов функций неуклонно увеличивалась. Существенно значение в этом процессе имело составление таблиц логарифмов, совершенствование таблиц тригонометрических функций, обусловленное, в частности, потреблениями геодезии и навигации.
Таким образом, уже на рубеже XVII и XVIII веков возникла необходимость в выражении понятий функциональной зависимости, свободном от геометрического и механического облачения, и задача выделения важнейших классов функций. Первый значительный шаг в решении этой проблемы сделал в 1718 г. И. Бернулли. Он писал: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Непосредственным развитием определения Бернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первом томе «Введение в анализ»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств»[4].
Эйлерово определение функции – это по сути определение функции комплексного переменного однако смысл его становится отчетливым лишь после того, как выясняется содержание понятий «аналитическое выражение».
Именно здесь Эйлер и подходит к классификации функций. В качестве допустимой операции при составление, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, решение алгебраических уравнений интегрирование. Функции, получаемые в результате этих действий, исключая интегрирование, Эйлер называет алгебраическим и делит их на рациональные (целые и дробные) и иррациональные. Применение названных операций к элементарным трансцендентным функциям eⁿ, ln n, sin n, cos n приводит его к трансцендентным функциям[5].
Кроме расширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед в выяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений. Функции, заданные единым аналитическим выражением, он называет непрерывными, вкладывая, таким образом, в это понятие смысл, отличительный от нашего понимания непрерывности. Разрывными функциями у него называются функции, заданные на разных кусках интервала различными аналитическими выражениями[6].
Учитывая запас операций, принятый для образования аналитических выражений Эйлер должен был получить функции аналитические в современном определении всюду, за исключением изолированных особых точек. В окрестности же этих точек получаемые функции должны были допускать разложение в обобщенный степенной ряд, который мог содержать дробные и отрицательные степени. Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер по сути выделял класс аналитических функций в смысле современной теории функций комплексного переменного. Именно поэтому установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказываются основными свойствами аналитических функций в смысле современного определения. Одно из этих свойств – представимость функции степенным рядом.
В более поздней работе (1767г.) Эйлер выясняет другое существенное свойство непрерывных функций, состоящее в том, что значения любой функции на сколь угодно малом интервале. Иными словами, любой как угодно малый кусок непрерывной кривой определяет всю эту кривую. Эйлер установил еще два общих свойства непрерывных функций. По Эйлеру, функции разрывные являются либо кусочно-аналитическими в смысле современного определения, либо аналитическими. В дальнейшем эйлерову трактовку понятия функциональной зависимости будем называть трактовкой узкого определения функции. Это понятие Эйлер рассматривает во втором томе«Введение в анализ» (1748г.).
Содержанием второго тома является введение в область геометрических приложений анализа. Исследуя вопросы аналитической геометрии, Эйлер принял условие: не пользоваться «никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии». Основную задачу он ставит в смысле изучения зависимости между аппликатой (ординатой) и абсциссой, поэтому область изменения аргумента ограничивается лишь полем действительных чисел. Расширению подвергается само понятие функциональной зависимости. Как сама геометрия, таки одна из важнейших проблем математической физики - задача о колебании струны – привела Эйлера к необходимости введения в анализ разрывных функций, т.е. функций, «лишенных закона непрерывности». Задача колебания струны потребовала изучения «механических» кривых, или кривых, получаемых «свободным влечением руки».
Проблема колебания струны оказала принципиальное влияние на развитие математического анализа не только в XVIII, но и XIX веке.
Похожие работы
... сосланы. Несмотря на все гонения, Московский университет и его прогрессивные деятели продолжали оказывать влияние на развитие культуры, просвещения, школы и педагогической мысли России. Педагогическая деятельность И. И. Бецкого. Во второй половине XVIII века жестокая эксплуатация помещиками крепостных крестьян была доведена до крайних пределов. Усилилась классовая борьба между крестьянами и ...
... вице-канцлером Генрихом Остерманом создал Верховный тайный совет, возвысившийся над сенатом. Остерман был сыном пастора из Бохума. Будучи студентом, он убил на дуэли человека и, спасаясь от суда, бежал в Россию в начале XVIII века. Здесь он поступил на службу на флот, стал фаворитом Петра и вскоре получил графский титул и должность вице-канцлера. Возглавляя русскую делегацию на мирном конгрессе в ...
... , хотя ему уже придавали иной смысл, нежели тот, который вкладывал в него Кулон.Введение понятия потенциалав электростатику Открытие закона Кулона было очень важным шагом в развитии учения об электричестве и магнетизме. Это был первый физический закон, выражающий количественные соотношения между физическими величинами в учении об электричестве и магнетизме. С помощью этого закона можно было ...
... средства нередко использовали непроизводительно, проживали, не думая о завтрашнем дне. ТЕМА 48. ВНУТРЕННЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ ВО II ЧЕТВЕРТИ XIX ВЕКА. 1. Основные политические принципы николаевского царствования Вторая четверть XIX в. вошла в историю России как "николаевская эпоха" или даже "эпоха николаевской реакции". Важнейшим лозунгом Николая I, пробывшего на ...
0 комментариев