Навигация
Дифференциальное исчисление
26399
знаков
0
таблиц
0
изображений
4. Дифференциальное исчисление
В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Л. Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии необходимых новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почетных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильное влияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.
В первой половине XVIII века назрела необходимость освободить основания нового исчисления от механической и геометрической трактовки их. Новое исчисление требовало подхода, свободного от аппеляции к физике, механик и геометрии. Таким походом мог быть только аналитический. «Здесь же все изложение ограничено областью чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа», - указывает Эйлер в заключительной фразе своего предисловия[7].
В основе дифференциального исчисления Эйлера лежит понятие бесконечно малой величины. В этом отношении он следует первому учебнику анализа бесконечно малых Лопиталя (1696г.), написанному под большим влиянием И. Бернулли.
Разъясняя понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, Эйлер стремится отвести упреки относительно принебрежения в анализе «геометрической строгостью». Однако попытки логического обоснования основных начал анализа Эйлеру не удались. Существо этих попыток заключалось в построении «исчисления нулей». Прежде всего Эйлер вводит два способа сравнения нулей: арифметический и геометрический. При первом рассматривается разность нулей, при втором – их отношение.
Определяя бесконечно малые количества как чистые нули, Эйлер вынужден полемизировать с Лейбницем, считавшим, что существуют некие последние частицы, называемые «атомами», «монадами» иди «простыми сущностями»[8].
В работе о дифференциальных уравнениях (1728г.) Эйлер рассматривает классы однородных уравнений второго порядка. К этому же времени относятся его исследования о геодезических линиях. Соответствующее дифференциальное уравнение оказалось также второго порядка. В работе о началах вариационного исчисления (1744г.) он использует дифференциалы любого порядка, а также понятие функции многих переменных.
5. Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений
В 1768 году Петербургская академия издала первый том «Интегральное исчисление» Л. Эйлера. Второй и третий тома также в России в 1769 и 1770 годах. Широта содержания, необычайное богатство новых результатов, в подавляющем большинстве принадлежащих самому Эйлеру, проникновение в сложные вопросы теории дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных, - все это определило значение и роль трехтомного сочинения Эйлера в истории математического анализа. Без преувеличения можно сказать, что «Интегральное исчисление» Эйлера составляет эпоху в развитии математического анализа. Этот труд оказал также влияние на дальнейшее развитие ряда математических наук.
В понятие интегрального исчисления Эйлер, как и его современники, включал не только интегрирование функций, но и интегрирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных.
В связи с этим три тома «Интегрального исчисления» содержат такие разделы: интегрирование функций, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование дифференциальных уравнений второго и высшего порядков, интегрирование уравнений с частными производными.
В 1794 г. уже после смерти Эйлера Петербургская академия наук издала четвертый том «Интегрального исчисления», содержащий дополнения, главным образом, к первым двум томам. В Собрании сочинений Л. Эйлера материал четвертого тома распределен по соответствующим томам первой серии этого издания.
В своем издании Эйлер указывает: «Интегральное исчисление должно быть распространено на разыскание функций двух или большего числа переменных, когда задано какое-нибудь соотношение между дифференциалами»[9]. Он отмечает, что нахождение функции двух и большего числа переменных по заданному соотношению между их дифференциалами еще нигде не излагалось. Решение этой задачи принесло бы «очень большую пользу механике и особенно в учении о жидкостях». Таким образом, задача ставится в плане решения любых дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных. Далее Эйлер определяет полный и частный интегралы. Понятиями полного и частного интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений он владел еще в 1738 году, а в своих печатных работах ввел их впервые в 1743 году.
Рассматривая основные направления развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII века, появляются первые задачи динамики точки при их аналитической трактовке, которые потребовали методов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем.
Назревала также потребность в развитии теории линейных уравнений. Это объясняется тем, что в начале XVIII века приобретала все более серьезное значение теории малых колебаний материальных систем с конечным числом степенной свободы. В связи с конструированием достаточного точных маятниковых часов, необходимых для астрономических наблюдений, а также с первыми гравиметрическими проблемами возникла необходимость в построении аналитической теории математического и физического маятников, являющейся развитием результатов Гюйгенса (конец XVIII в.).
Другое направление теории обыкновенных дифференциальных уравнений – численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений – было обусловлено в значительной степени требованиями небесной механики.
Одним из направлений в развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений было также изучение особых решений. Оно определялось задачами геометрического содержания, в частности задачами быстро развивавшейся дифференциальной геометрии. Главнейшими задачами из них были задачи о нахождении огибающих и изогональных траекторий семейств кривых (позже – семейств поверхностей). В XVIII веке направление, связанное с изучением семейств плоских кривых, в частности семейств интегральных линий, было наименее значительным. Однако уже в начале второй четверти XIX века тесно связанная с теорией особых решений проблема единственности решения задач с начальными условиями, а вместе с ней и общая проблема существования решений приобрели в теории обыкновенных дифференциальных уравнений первостепенное значение.
Уровень накопленных к началу XVIII веку знаний о свойствах и способах решений обыкновенных дифференциальных уравнений был совершенно недостаточен для изучения новых сложных задач. Поэтому не удивительно, что уже с начала второй четверти XVIII века наблюдалось значительное повышение интереса к этой области анализа. В первом же томе «Комментариев» Петербургской академии за 1726 год были помещены исследования по дифференциальным уравнениям Я. Германа. Х. Гольдбаха, И. Бернулли и его сыновей Николая и Даниила. Весьма значительное развитие в XVIII веке теория дифференциальных уравнений получила в трудах Эйлера, братьев Бернулли, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.
Естественно, что достижения Эйлера, первые в огромной новой области анализа, не могли быть достаточно общими и завершенными. Теорию уравнений в частных производных развил дальше Ж. Лагранж. Анализ его исследований показывает преемственность эйлеровых результатов. Начало нового периода в развитии теории уравнений в частных производных не только первого, но и высшего порядков связано с работами Г. Монжа. Этот период характеризуется существенным проникновением в теорию дифференциальных уравнений в частных производных новых геометрических идей. Дальнейшее развитие геометрическая теория уравнений в частных производных получила в трудах геометров XIX века. История теории дифференциальных уравнений в частных производных второго и высших порядков представляет собой в значительной степени историю теории дифференциальных уравнений математической физики.
Список используемой литературы
1. История отечественной математики в четырех томах. Том 1.
Академия наук СССР
[1] Д. Бернулли. Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкостей. Пер. с лат. Изд-во АН СССР, М., 1959.
[2] J.P. D’Alembert. Traite de l’equilibre et du movement des fluids. Paris, 1744
[3] L. Euler. Principes generaux du movement des fluids. – Mem. De l’Acad. d. sci. et bell.-lettr. de Berlin. T. 11, 1755 (1757).
[4] Л. Эйлер. Введение анализ бесконечных. Т. 1, стр. 24
[5] Разделение функций на алгебраические и трансцендентные было, хотя и в менее отчетливой флрме, у Даламбера и Лейбница.
[6] В первом томе «Введение в анализ» рассматриваются лишь непрерывные функции.
[7] Л.Эйлер. Дифференциальное исчисление, стр. 44
[8] Там же стр. 89
[9] Л. Эйлер. Интегральное исчисление Т.1, стр. 12
Похожие работы
... сосланы. Несмотря на все гонения, Московский университет и его прогрессивные деятели продолжали оказывать влияние на развитие культуры, просвещения, школы и педагогической мысли России. Педагогическая деятельность И. И. Бецкого. Во второй половине XVIII века жестокая эксплуатация помещиками крепостных крестьян была доведена до крайних пределов. Усилилась классовая борьба между крестьянами и ...
... вице-канцлером Генрихом Остерманом создал Верховный тайный совет, возвысившийся над сенатом. Остерман был сыном пастора из Бохума. Будучи студентом, он убил на дуэли человека и, спасаясь от суда, бежал в Россию в начале XVIII века. Здесь он поступил на службу на флот, стал фаворитом Петра и вскоре получил графский титул и должность вице-канцлера. Возглавляя русскую делегацию на мирном конгрессе в ...
... , хотя ему уже придавали иной смысл, нежели тот, который вкладывал в него Кулон.Введение понятия потенциалав электростатику Открытие закона Кулона было очень важным шагом в развитии учения об электричестве и магнетизме. Это был первый физический закон, выражающий количественные соотношения между физическими величинами в учении об электричестве и магнетизме. С помощью этого закона можно было ...
... средства нередко использовали непроизводительно, проживали, не думая о завтрашнем дне. ТЕМА 48. ВНУТРЕННЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ ВО II ЧЕТВЕРТИ XIX ВЕКА. 1. Основные политические принципы николаевского царствования Вторая четверть XIX в. вошла в историю России как "николаевская эпоха" или даже "эпоха николаевской реакции". Важнейшим лозунгом Николая I, пробывшего на ...
0 комментариев