Находим значения концов доверительного интервала

3. Находим значения концов доверительного интервала

.

.

Т.о., искомый доверительный интервал , т.е.

 

Ответ:

 

Задание №8

При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.

Решение:

xi	1	2	3	4	5
mi	0,148	0,149	0,151	0,153	0,155

Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: - предельная ошибка малой выборки.

Учитывая, что  определим табулированные значения - критерия Стьюдента.

.

Таким образом,

.

 

Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088

Задание №9

При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс², Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс².

Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.

Решение:

Пусть - гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.

При достаточно больших объемах выборки выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией .

При выполнении гипотезы статистика

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)

По данным задачи

В случае конкурирующей гипотезы  выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия

Т.о.

Табулированное значение

Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического t_кр, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е. , то гипотеза отвергается, в противном случае – гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение , то в силу условия →делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.

Задание №10

Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:

X	60	65	66	70	64
Y	72	71	80	78	69

Решение:

Пусть - гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10

Вычислим и

При выполнении гипотезы статистика .

где  и

X	60	65	66	70	64
Y	72	71	80	78	69
	25	0	1	25	1	52
	4	9	36	16	25	90
	13
	22,5

Критическое значение статистики находят из условия .

Т.о. .

Табулированное значение .

Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение  то в силу условия делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10 не подтверждается.

Задание №11

По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период:

Ц/ га	10	15	6	20	9
Число дождливых дней	14	20	6	20	10

Коррелируют ли данные величины?

Решение:

Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи.

 ()

 ()

Свойства коэффициента корреляции:

1 ⁰ Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству .

2 ⁰ В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную

Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)

Значение ½r½	0–0,1	0,1–0,3	0,3–0,5	0,5–0,7	0,7–0,9	0,9–0,99	1
Теснота линейной связи	Нет связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Очень высокая	Функциональная

Значение R	Связь	Интерпретация связи
R = 0	Отсутствует	Отсутствует линейная связь между х и у
0<R < 1	Прямая	С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот
-1<R<0	Обратная	С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот
R =+1 R = -1	Функциональная	Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот

	Ц/га	Число дождливых дней	Промежуточные вычисления
№	Y	X	Y*X	Y2	X2
1	10	14	140	100	196
2	15	20	300	225	400
3	6	6	36	36	36
4	20	20	400	400	400
5	9	10	90	81	100
S	60	70	966	842	1132
Средние	12	14	193,2	168,4	226,4
Sx2	30,4
Sy2	24,4
Sx	5,51
Sy	4,94
r	0,925

Таким образом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумя факторами присутствует связь прямая и очень тесная.

 

Ответ: данные величины коррелируют.

Задание №12

По данным таблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3.

X	4	2	3	7	5	6	3
Y	2	7	4	6	5	2	1

Решение:

1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимости между величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции .

			Промежуточные вычисления			Уравнение регрессии
№	Y	X	Y*X	Y2	X2
1	2	4	8	4	16	3,853
2	7	2	14	49	4	3,824
3	4	3	12	16	9	3,838
4	6	7	42	36	49	3,897
5	5	5	25	25	25	3,868
6	2	6	12	4	36	3,882
7	1	3	3	1	9	3,838
S	27	30	116	135	148	3,84
Средние	3,86	4,29	16,57	19,29	21,14
Sx	1,67			a	3,794
Sy	2,10			b	0,015
r	0,012

Коэффициент корреляции r=0,012, следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, но очень слабая (почти отсутствует).

Уравнение регрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенно описывает зависимость между значениями x одного признака и соответствующими средними значениями другого признака .

Наиболее простой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Она определяется уравнением линейной регрессии.

В рассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессии приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида: и изображается на графике в виде прямой регрессии. Уравнение регрессии называется выборочным, поскольку его параметры a и b находятся по результатам выборки (х_i, у_i), i=1,2,… n, причем наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, чтобы была наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений у_iот соответствующих значений , вычисленных по уравнению регрессии, то есть

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему линейных уравнений:

→

Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров

a=3,794.

b=0,015.

Уравнение линейной регрессии .

Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости

Список литературы

1.         Адрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. – М.: Высшая школа, 2005.

2.         Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. – Ростов н/Д: Феникс, 2006.

3.         Информатика и математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева. – М.: Юнити-Дана, Закон и право, 2003

4.         Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. – СПб.: Альфа, 2001.

5.         Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

6.         Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика

7.         Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

8.         Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

9.         Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных чисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. – СПб: Издательство «Лань», 2007.

[1] Ранжирование – операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию