Основы научного исследования и планирование экспериментов на транспорте

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЗАДАНИЕ

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ

ВЫВОД

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.

Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.

Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов – это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f(X₁, X₂,…X_k), где X – факторы, Y – функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

Объект исследования – одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.

Предмет исследования – процесс функционирования двигателя.

Цель исследования – анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональной зависимости

ЗАДАНИЕ

Область планирования фактора X: X_min = 0,012 м, X_max = 0,055 м.

План проведения эксперимента:

№ опыта	xj
1	-1
2	-0,8
3	-0,6
4	-0,4
5	-0,2
6	0
7	0,2
8	0,4
9	0,6
10	0,8
11	1

Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Х_min, Х_max), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

где  - интервал (шаг) варьирования фактора;

 - натуральное значение основного уровня фактора;

 - кодированное значение фактора x;

- натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N – число опытов.

В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ

Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.

Табл. 1

№ опыта	Xj	Yj
1	0,012	3601,8348
2	0,0163	2712,4310
3	0,0206	2195,4343
4	0,0249	1855,3637
5	0,0292	1626,8644
6	0,0335	1461,2450
7	0,0378	1339,577
8	0,0421	1250,5135
9	0,0464	1173,9877
10	0,0507	1126,4606
11	0,055	1092,5573

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

Получим функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a₀ + a₁X) и квадратичную зависимости (Y = a₀ + a₁X + a₂X²). Посредством МНК значения a₀, a₁ и a₂ найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Y_j от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:

.

Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a₀, a₁ и a₂.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a₀ + a₁X. Получим:

;

.

Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

Решая эту систему, найдем коэффициенты a₁ и a₀:

; .

Для квадратичной зависимости Y = a₀ + a₁X + a₂X² система нормальных уравнений имеет вид:

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.

Табл. 2

№ опыта	Xj	Yj	Xj2	Xj Yj	Xj2Yj	Xj3	Xj4
1	0,012	3601,8348	0,000144	43,222017	0,5186642	0,0000017	0,000000020736
2	0,0163	2712,4310	0,0002656	44,212625	0,7204216	0,0000043	0,0000000705433
3	0,0206	2195,4343	0,0004243	45,225946	0,9315227	0,0000087	0,0000001800304
4	0,0249	1855,3637	0,00062	46,198556	1,1503254	0,0000154	0,0000003844
5	0,0292	1626,8644	0,0008526	47,50444	1,3870645	0,0000248	0,0000007269267
6	0,0335	1461,2450	0,0011222	48,951707	1,6398091	0,0000375	0,0000012593328
7	0,0378	1339,577	0,0014288	50,63601	1,9139876	0,000054	0,0000020414694
8	0,0421	1250,5135	0,0017724	52,646618	2,2164101	0,0000746	0,0000031414017
9	0,0464	1173,9877	0,0021529	54,473029	2,52747781	0,0000998	0,0000046349784
10	0,0507	1126,4606	0,0025704	57,111552	2,8954543	0,0001303	0,0000066069561
11	0,055	1092,5573	0,003025	60,090651	3,3049858	0,0001663	0,000009150625
Σ	0,3685	19436,266	0,0143782	550,27311	19,206122	0,0006174	0,0000282173998

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X найдем коэффициенты a₁ иa₀:

.

.

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X + a₂X² найдем коэффициенты a₁ , a₂ иa₀:

Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:

 

.

.

.

 

Найдем определитель (det) матрицы:

.

; ;.

; ; .

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

Построим графики функций Y = a₀ + a₁X ; Y = a₀ + a₁X + a₂X² :

X	0,012	0,0163	0,0206	0,0249	0,0292	0,0335	0,0378	0,0421	0,0464	0,0507	0,055
Y=ao+a1X	2833,143	2619,9	2406,658	2193,415	1980,172	1766,929	1553,686	1340,443	1127,2	913,9573	700,7144
Y=a0+a1X+a2 X2	3215,923	2748,207	2330,714	1963,444	1646,397	1379,574	1162,973	996,5962	880,4424	814,5117	798,8043

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ

Для проверки адекватности модели определим абсолютные DY_j и относительные погрешности  в каждом из опытов.

DY_j =  - Y_j; ,

где – расчетное значение функции (отклика) в j-ой точке.

Данные представим в виде таблицы 3.

Табл. 3

j	Y = a0 + a1X		Y = a0 + a1X + a2X2
	DYj		DYj
1	-768,6918	-0,21342	-385,9118	-0,10714
2	-92,531	-0,03411	35,776	0,01319
3	211,2237	0,09621	135,2797	0,06162
4	338,0513	0,1822	108,0803	0,05825
5	353,3076	0,21717	19,5326	0,012
6	305,684	0,20919	-81,671	-0,05589
7	214,109	0,15983	-176,604	-0,13183
8	89,9295	0,07191	-253,9173	-0,20305
9	-46,7877	-0,0398	-293,5453	-0,25004
10	-212,5033	-0,1886	-311,9489	-0,27693
11	-391,8429	-0,35865	-293,753	-0,26887

Просматривая значения этих погрешностей, исследователь может легко понять, какова погрешность предсказания в точках, где проводились опыты, устраивают его или нет подобные ошибки. Таким образом, путем сопоставления фактических значений отклика с предсказанными по уравнению регрессии можно получить достаточно надежное свидетельство о точностных характеристиках модели.

С помощью анализа работоспособности регрессионной модели выясним практическую возможность ее использования для решения какой-либо задачи. Это анализ будем проводить, вычисляя коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения). Коэффициент детерминации R² вычисляется по формуле:

  

 где  – общее среднее значение функции отклика.

.

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 4.

Табл. 4

		Y = a0 + a1X	Y = a0 + a1X + a2X2
j
1	3366863,62479	1136803,18835	1952571,23764
2	893965,95743	727552,24249	853898,13319
3	183613,13271	409247,73017	312848,71152
4	7819,94095	181886,66602	37616,467
5	19619,28834	45470,75597	14328,99238
6	93445,31841	0,00002	147047,20405
7	182633,3815	45474,39816	359786,00774
8	266689,37885	181893,9504	589419,20142
9	351584,44898	409258,65674	602866,06259
10	410205,24101	727568,0054	801506,847
11	454782,94891	1136822,67874	759273,70255
Σ	6231222,66188	5001978,27246	5732724,84892

Для уравнения регрессии Y = a₀ + a₁X:

Для уравнения регрессии Y = a₀ + a₁X + a₂X²:

Т.к. в уравнениях регрессии  оба уравнения принято считать работоспособными. В уравнении регрессии вида Y = a₀ + a₁X + a₂X²

, а в уравнении регрессии вида Y = a₀ + a₁X . Из этого следует, что в уравнении вида Y = a₀ + a₁X + a₂X² найденное значение регрессии лучше объясняет вариацию в значениях Y (N >> (d+1)), чем в уравнении вида Y = a₀ + a₁X.

ВЫВОД

В процессе выполнения контрольно-курсовой работы мы научились:

- разрабатывать план проведения вычислительного эксперимента;

- проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ и накапливать статистическую информацию;

- обрабатывать полученные статистические данные с помощью регрессионного анализа и получать формульные зависимости, связывающие значение выходной переменной (отклика) объекта с входными переменными (факторами);

- графически представлять и анализировать полученные результаты (проверять адекватность и работоспособность регрессионной модели);

- вычислять коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения) и анализировать полученные результаты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972.

2.Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. – Минск, 1982.

3.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство. – М.: Наука, 1971.