Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№1 Функциональные ряды

Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+… Придавая х какое-либо значение х₀из области определения функций U_n(x), получим числовой ряд U₁(x₀)+ U₂(x₀)+…+ U_n(x₀)+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х₀ ряд расходится, то точка х₀ называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд b₁+ b₂ +…+ b_n+…, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. |U_n(x)| ≤ b_n (n=1, 2, …)

 

№2 Неопределенный интеграл и его свойства

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).

Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С?R.

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом

Свойства:

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

– постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

№3 Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,

 ^x→0±a

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b

R = lim(y/x) ; b = lim (y – Rx)

^{x→0 x→0}

Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.

№4 Экстремум функции (для одной переменной)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х, не равных х₀ из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х₀), где х₀ – точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна 0.

Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х₀ – точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х₀ – точка минимума.

№5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.

Физический: производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к 0.

Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен значению производной этой функции в точке х₀.

№6 Замечательные пределы

 

lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e – экспонент)

^{x→∞ x→0}

№7 Точки разрыва функции, классификация

Точка х₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке х₀ функция не определена, или не существует предел функции при х → х₀ , или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х₀: lim f(x) ≠ f(х₀). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,

^x→x0

если существуют конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)≠f(x0+0). ^x→x0^{-0 x→x}0⁺⁰

Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).

№8 Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной, если:

– функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

– функция имеет предел при x→x₀,

– предел функции при x→x₀ равен значению функции в точке x₀: lim f(x) = f(х₀)

^x→x0

Если в точке х₀ функция непрерывна, то точка х₀ называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х₀ справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ . Если lim f(x) = f(х₀), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ справа; если lim f(x) = f(х₀),

^x→x0^+0x→x0^-0

то функция называется непрерывной в точке x₀ слева.

№9 Предел функции по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любой последовательности { x_n} сходящейся к x₀ , последовательность F({ x_n}) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

^x→x0

№10 Предел функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x₀|< δ, x≠x₀ выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

№11 Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности x_n, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n<N выполняется неравенство | x_n-a|<E. В этом случае обозначают так  lim x_n = a

^n→∞

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim x_n = a; lim у_n = b, тогда

^{n→∞ n→∞}

– lim (x_n± у_n) = a±b;

^n→∞

– lim (x_n* у_n) = a*b;

^n→∞

– lim (c* x_n) = c*a;

^n→∞

– lim (x_n)^R = (lim x_n)^R=a^R;

^n→∞

– lim (x_n)^1/R = a^1/R;

^n→∞

– lim a = a.

^n→∞

Бесконечно большие последовательности:

– lim x_n= ±∞;

^n→∞

Правила вычисления пределов ЧП:

– lim x_n= а; lim y_n= ±∞, тогда lim x_n/ lim y_n= а/±∞=0;

^{n→∞ n→∞ n→∞ n→∞}

– lim x_n= 0; lim y_n= ±∞, тогда lim y_n=0, lim (x_n/ y_n)= ±∞

^{n→0  n→∞ n→∞ n→∞}

№12 Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если точки М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ), М₁ (x₁ ; y₁ ; z₁ ), М₂ (x₂ ; y₂ ; z₂ ) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением

x – x₀ y – y₀ z – z₀

x₁ – x₀ y₁ – y₀ z₁ – z₀ = 0

x₂ – x₀ y₂ – y₀ z₂ – z₀

 

№14 Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).

Прямая L, проходящая через точку М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x – x₀ y – y₀ z – z₀

= = ,

l m n

выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М₀М { x – x₀ , y – y₀ , z – z₀}. Они называются каноническими.

№15 Уравнение прямой на плоскости.

Ax + By + C = 0, где А, В, С – постоянные коэффициенты.

Заметим, что n (А; В) – нормальный вектор (n ┴ прямой).

Частные случаи этого уравнения:

– Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;

– Ах + С = 0 (В=0) – прямая параллельна оси Оу;

– Ву + С = 0 (А=0) – прямая параллельна оси Ох;

– Ах = 0 – прямая совпадает с осью Оу;

– Ву = 0 – прямая совпадает с осью Ох.

№16 Векторы. Операции над векторами.

Вектор – направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.

а b а b а a c

а b a + b = c

a b b а

Равенство векторов:

Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов:

Суммой векторов называется третий вектор

Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.

Коллинеарность векторов:

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное произведение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними

Угол между векторами:

cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

№17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; … xn = ∆n/∆

№18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.

Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;

{ а21х1 + а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2; }, где а_ij – коэффициенты системы, b_i – свободные

am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены

№19 Обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А^-1 = А^-1*А = Е

Всякая невырожденная матрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.

Алгоритм вычисления обратной матрицы: