2. Пусть имеем следующие функции.

Построим борелеву алгебру на поле, тогда по теореме о продолжении счетно-аддитивная функция, определенная на поле, без изменения аксиом теории вероятности, однозначно распространяется на все элементы борелевой алгебры, не принадлежащие полю. Т.о. вероятностное пространство построено, теорема доказана.

Смысл теоремы.

Теорема Колмогорова позволяет утверждать, что если вы исследуете случайную величину, то не надо строить абстрактное пространство элементарных событий, -алгебру, счетно-аддитивную меру, конкретный вид функции Теория вероятности и математическая статистика. Нашей задачей будет лишь то, что считая R1 - числовой скалярной осью - пространство элементарных событий, мы должны найти функцию распределения F(x), использую статистику: результата конкретного испытания над случайной величиной:

X1, X2, ..., Xn

Дискретные случайные величины

Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных числовых значений.

Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами:

X, Y, Z

Вероятностное пространство дискретной случайной величины задается в виде:

Теория вероятности и математическая статистика, n - конечное или бесконечное.

Пример:

Испытание - композиция n-независимых испытаний, в каждом из которых происходит событие A с вероятностью p, либо Теория вероятности и математическая статистика с вероятностью 1-p.

Вероятностное пространство

Теория вероятности и математическая статистика

В этом примере -алгеброй является множество всех подмножеств пространства элементарных событий. Введенную нами случайную величину x по определению можно задать:

Теория вероятности и математическая статистика

- верхняя строчка - это совокупность возможных числовых значений, которые может принимать случайная величина;

- нижняя строчка - вероятность наступления этих числовых значений.

Практически во всех задачах естествознания отсутствует промежуточный этап: испытание,  - пространство всех возможных исходов испытания, Теория вероятности и математическая статистика- числовая скалярная функция, элементы которой w .

На самом деле структура:

- испытание;

- исход испытания;

- число на числовой оси.

Вероятностные характеристики дискретных случайных величин.

Математическим ожиданием случайной величины X называется число вида

Теория вероятности и математическая статистика

xi - все возможные различные конкретные исходы испытания;

pi - вероятности их наступления.

Математическое ожидание является как бы аналогом центра масс точечной механической системы:

Теория вероятности и математическая статистика

Как центр масс:

Теория вероятности и математическая статистика

Смысл характеристики мат.ожидания заключается в следующем: это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над дискретной случайной величиной.

Свойства математического ожидания

1. MC=C

Теория вероятности и математическая статистика

2. MCX=CMX

Построим таблицу для случайной величины CX:

Теория вероятности и математическая статистика

по определению математического ожидания:

Теория вероятности и математическая статистика

3. M(X+a)=MX+a, a=const

Построим таблицу для случайной величины x+a

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать следствие

4. M(aX+b)=aMX+b, где a, b - константы

Теория вероятности и математическая статистика

Пусть случайная величина Y является функцией f(x) от случайной величины X. Построим вероятностное пространство случайной величины Y.

Теория вероятности и математическая статистика

Верхняя строчка является пространством элементарных событий для случайной величины Y. В противном случае верхняя строчка является пространством элементарных событий для величины Y.

Все одинаковые числа в верхней строчке заменяется одним, вероятность наступления которого равна сумме соответствующих вероятностей.

Следствие.

Математическое ожидание случайной величины Y равняется:

Теория вероятности и математическая статистика

Начальным моментом К-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Xk.

Теория вероятности и математическая статистика

Центрированная случайная величина - это величина, равная X’=X-MX

Покажем, что математическое ожидание MX’ равно 0.

Теория вероятности и математическая статистика

Центральным моментом К-го порядка называется начальный момент К-го порядка случайной величины X’

Теория вероятности и математическая статистика

при решении реальных задач практические вероятности рi неизвестны, но считая, что вероятность - это частость, при большом числе испытаний

Теория вероятности и математическая статистика

Дисперсией случайной величины X, называется центральный момент второго порядка случайной величины X.

Теория вероятности и математическая статистика

Дисперсия является мерой концентрации результатов конкретных испытаний над случайной величиной X.

Свойства.


Информация о работе «Теория вероятности и математическая статистика»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 59066
Количество таблиц: 6
Количество изображений: 49

Похожие работы

Скачать
10566
0
2

... оценками. Например, среднее арифметическое, медиана, мода могут показаться вполне приемлемыми для оценивания математического ожидания М (Х) совокупности. Чтобы решить, какая из статистик в данном множестве наилучшая, необходимо определить некоторые желаемые свойства таких оценок, т.е. указать условия, которым должны удовлетворять оценки. Такими условиями являются: несмещенность, эффективности ...

Скачать
100095
5
2

... проверить знания студента из первой части курса, которая излагается в первых четырёх модулях. Во вторых вопросах билета проверяются знания классической предельной проблемы теории вероятностей и математической статистики, которые излагаются в следующих пяти модулях. 1.  Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: испытания с равновозможными исходами. 2.  ...

Скачать
128040
14
4

... выборок. 5. Исследовательские проекты и их защита. 3 2 1 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2   Всего 10 5 10   Итого 60 34   Глава 2 Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы 2.1. Организация при формировании пространственного образа, c использованием ...

Скачать
138817
24
10

... мышц и скоростью их сокращения, между спортивным достижением в одном и другом виде спорта и так далее. Теперь можно составить содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» для классов оборонно-спортивного профиля. 1.  Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с ...

0 комментариев


Наверх