Похідна за напрямом. Градієнт

5. Похідна за напрямом. Градієнт

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P0=(x0;y0); l деякий промінь з початком в точці P0=(x0;y0); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P0=(x0;y0); Dl – довжина відрізка P0Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р0 і позначається

В частинному випадку, є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі Ох , а – за напрямом осі Оу.

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0) за напрямом .

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P0=(x0;y0) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна за будь-яким напрямом  причому де  – значення частинний похідних в точці P0=(x0;y0).

Означення: Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0)

6. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Означення: Диференціалом другого порядку від ф-ії z=f(x;y) називається диференціал від її повного диференціалу, тобто d2z=d(dz). Аналогічно визначають диференціали третього і вищого порядків.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) визначена в області D, в цій області існують перші похідні і , другі змішані похіднііі похідні іяк ф-ії від х і у неперервні в точці (х0;у0), тоді в цій точці

7. Похідна неявної ф-ії

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця цмова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0.

Припустимо, що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що . Похідна знаходиться за формулою:

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) – диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

 за умови, що

8. Формула Тейлора для ф-ії двох змінних

Розглянемо ф-ію двох змінних z=f(x;y). Припустимо, що в околу заданої точки (x0;y0) ця ф-ія має неперервні похідні всіх порядків, до n+1 включно. Надамо x0 і y0 деякі прирости Dx і Dy так, щоб прямолінійний відрізок, який з’єднує точки (x0;y0) і (x0+Dx;y0+Dy), не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді формула Тейлора:

___

ДЩСЛІДЖЕННЯ Ф-ІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

1. Екстремум ф-ії двох змінних

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x0;y0) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність , тоді ця точка (x0;y0) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (x0;y0), тоді в цій точці частинні похідні іабо дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія має екстремум у точці (x0;y0), неперервні частинні похідні першого і другого порядку, причомута а також   . Якщо:

AC-B2>0 і A<0 тоді (x0;y0) точка максимуму

AC-B2>0 і A>0 тоді точка мінімуму

AC-B2<0 екстремуму немає

AC-B2=0