Графическое решение задачи линейного программирования в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

Контрольная работа

по дисциплине:

"Экономическая информатика"

Выполнила студентка:

гр. ПВ 09-1з

Проверил:

Краматорск, 2010

Задание № 1. Графическое решение задачи линейного программирования

 

Решить графически и с помощью Excel формализованную задачу линейного программирования.

3x1-x2³9,2x1+x2£50,x1+4x2³19;

f=x1+5x2. (max).

Графическое решение задачи линейного программирования

Экономический вывод:

Для получения максимальной прибыли в размере 35 ед. план выпуска продукции должен быть таким: изделие 1 - 9 единиц, выпуск изделия 2 - 16 единицы, выпуск изделия 3 - 19 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:

Избыточным является ресурс "2", недостаточным - "1" и "3".

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1	B2	B3	B4
A1	180	2	3	4	3
A2	60	5	3	1	2
A3	80	2	1	4	2
Потребности		120	40	60	80
	Потребитель 1	Потреитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4
Поставщик 1	46	32	46	37	160
Поставщик 2	31	6	4	18	60
Поставщик 1	43	2	11	25	80
	120	40	60	80
Грузооборот				875,8	т. - км

		Переменные
		x1	x2
Значения		11,8	26,4
Нижн граница		0	0
Верх граница
	F	1	5		=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C6: D6)	max
Коэффициенты целевой функции				Значение		Фактические ресурсы	Неиспользованные ресурсы
		Коэффициенты
Система ограничений		-3	1	=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C9: D9)	<=	-9	=G9-E9
		2	1	=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C10: D10)	<=	50	=G10-E10
		1	-4	=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C11: D11)	<=	-19	=G11-E11

Задание №2. Транспортная задача

На две базы А1 и А2 поступил однородный груз в количестве а1 т на базу А1 и а2 т на базу А2. Полученный груз требуется перевезти в три пункта: b1 т в пункт B1, b2 т в пункт B2, b3 т в пункт B3. Расстояния между пунктами отправления и пунктами назначения указаны в матрице R. Составить план перевозок с минимальными расходами. Решить задачу при заданных запасах и потребностях.

Стоимость одного тонно-километра принять за единицу.

Вариант	А1	А2	B1	B2	B3	R
6	200	230	190	100	140	12 5 16 14 10 8

Пусть x_ij - количество груза, перевезенного из пункта А_i в пункт В_j. Проверим соответствие запасов и потребностей: 200+230=430 = 190+100+140=430. Задача замкнутая. Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:

F = 12x₁₁+5x₁₂+16x₁₃+14x₂₁+10x₂₂+8x₂₃ (min).

Система ограничений определяется следующими условиями:

а) количество вывозимых грузов равно запасам:

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ = 200;

x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ = 230.

б) количество ввозимых грузов равно потребностям:

x₁₁ + x₂₁ = 190;

x₁₂ + x₂₂ = 100;

x₁₃ + x₂₃ = 140

в) количество вывозимых грузов неотрицательно:

x₁₁ ³0; x₁₂ ³0; x₁₃ ³0

x₂₁ ³0; x₂₂ ³0; x₂₃ ³0

Получили формализованную задачу:

F = 12x₁₁+5x₁₂+16x₁₃+14x₂₁+10x₂₂+8x₂₃ (min).

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ = 200;

x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ = 230.

x₁₁ + x₂₁ = 190;

x₁₂ + x₂₂ = 100;

x₁₃ + x₂₃ = 140

x₁₁ ³0

x₁₂ ³0

x₁₃ ³0

x₂₁ ³0

x₂₂ ³0

x₂₃ ³0

Экономический вывод:

Для получения грузооборота с минимальными расходами в размере 4048 т. км. Поставщик 1 должен предоставить потребителю 1 - 100 т груза, а потребителю 2 - 100 т груза. Поставщик 2 должен предоставить потребителю 1 - 90 т груза, а потребителю 3 - 140 т груза.

Таблица.

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1		B2	B3
A1	200	12		5	16
A2	230	14		10	8
Потребности		190		100	140
	Потре-битель 1	Потре-битель 2		Потре-битель 3
Поставщик 1	100	100		0	200
Поставщик 2	90	0		140	230
	190	100		140
	Грузооборот			4080	т. - км
Пункты отправления	Запасы		Пункты назначения
			B1			B2		B3
A1	200		12			5		16
A2	230		14			10		8
Потребности			190			100		140
	Потребитель 1		Потребитель 2			Потребитель 3
Поставщик 1	0		100			100		=СУММ (B9: D9)
Поставщик 2	190		0			40		=СУММ (B10: D10)
	=СУММ (B9: B10)		=СУММ (C9: C10)			=СУММ (D9: D10)
	Грузооборот					=СУММПРОИЗВ (B9: D10; C3: E4)		т. - км

 

Задание № 3. Межотраслевая балансовая модель

Имеется трехотраслевая балансовая модель с матрицей коэффициентов затрат.

 

где a_{ij -} затраты i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли (в товарном или в денежном выражении).

Фонды накопления отраслей заданы числами d1, d2, d3.

Производственные мощности отраслей ограничивают возможности ее валового выпуска числами r1, r2, r3.

Определить оптимальный валовой выпуск всех отраслей, максимизирующий стоимость суммарного конечного продукта, если на конечный продукт накладывается некоторое ограничение.

Цена единицы конечного продукта 1, 2 и 3 отраслей соответственно равна: c1, c2, c3.

товарных единиц

k1: k2: k3 = 2: 1: 2;

R= (240, 420, 230), C= (2, 4,3).

Формализация задачи.

Пусть x_i - валовой выпуск i-й отрасли, i=1,2,3. Так как на собственное производство, а также на производство продукции 2-й отрасли первая отрасль произведенную продукцию не расходует, суммарный конечный продукт равен произведенной продукции K₁=x₁.

Вся произведенная продукция будет продана и выручка составит c₁x₁.

Чтобы определить прибыль 1-й отрасли, из полученной ею выручки нужно вычесть суммы, затраченные на производство продукции 1-й, 2-й и 3-й отраслей:

К₁=x₁- (a₁₁x₁+a₁₂x₂ +a₁₃x₃).

Аналогично для 2-й отрасли

K₂=x₂, К2=x₂- (a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃).

Подставляя числовые значения, получим выражения для прибыли 1-й 2-й и 3-й отраслей:

К₁=x₁- (0,21x₁+0,07x₂+0,12x₃).

К₂=x₂- (0,06x₁+0,03x₂+0,15x₃).

К₃=x₃- (0,2x₁+0,14x₂+0,03x₃).

Целевая функция - это цена всей проданной продукции: с₁К₁+с₂К₂+с₃К₃.

Следовательно, целевая функция задачи такая:

F=с₁К₁+с₂К₂+с₃К₃ (max).

Подставляя в последнюю формулу значения с₁, c_2, c₃ выражения K₁, K₂, K₃ получаем выражение для целевой функции

F = 2 (x₁- (0,21x₁+0,07x₂+0,12x₃)) +4 (x₂- (0,06x₁+0,03x₂+0,15x₃)) +3 (x₃- (0,2x₁+0,14x₂+0,03x₃)) (max).

Приведя подобные члены, получим: F=0.74x₁+3.32x₂+2.07x₃ (max).

Ограничения задачи:

1) По производственным мощностям: x₁£240, x₂£420, x₃£230

2) По комплектности: K₂: K₃ = 1: 2. Это условие равносильно условию т.е. условию  или .

4) Выпуск продукции: x₁³0, x₂³0, x₃³0

Формализованная задача имеет вид:

F=0.74x₁+3.32x₂+2.07x₃ (max).

x₁£240,x₂£420,x₃£230,.

x₁³0

x₂³0

x₃³0

Матрица затрат	0,21	0,07	0,12
	0,06	0,03	0,15
	0,2	0,14	0,03
240	0	0
0	0	230
0	420	0
240	420	230
Целевая функция		144	max
R	300	200	350

Матрица затрат	0,21	0,07	0,12
	0,06	0,03	0,15
	0,2	0,14	0,03
240	0	0
0	0	230
0	420	0
=СУММ (A7: A9)	=СУММ (B7: B9)	=СУММ (C7: C9)
Целевая функция		=СУММПРОИЗВ (B2: D4; A7: C9)	max
R	300	200	350

 

Задание № 4. Задачи разных типов

Формализовать задачу линейного программирования и решить с помощью Excel. Сделать экономический вывод.

Задание 1.

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество единиц корма, расходуемых на одно животное, запасы кормов и цена 1 шкурки указаны в таблице.

Вид корма	Кол-во ед. на 1 животное		Общее кол-во корма
	лисица	песец
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Цена	16	12

Определить, сколько лисиц и песцов необходимо выращивать, чтобы получить максимальную цену от продажи их шкурок.

Обозначим лисиц через x₁, песцов через - x₂.

Определим прибыль от выращивания животных. Прибыль от выращивания лисицы составляет по условию 16 ден. ед. План выращивания лисиц - x₁ ед. Прибыль от выращивания песцов составляет по условию 12 ден. ед. План выращивания песцов - x₂ ед. Суммарная прибыль от выращивания всех животных составит (16x₁+12x₂) ден. ед. Тогда целевая функция имеет вид: F=16x₁+12x₂, - суммарная прибыль должна быть наибольшей.

Составим систему ограничений.