Ограничение на использование сырья

1. Ограничение на использование сырья.

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 2 ед. корма 1, необходимо 2х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 3 ед. корма 1, необходимо 3х2 корма для песцов. Количество корма 1 для животных не должно превышать 180 единиц. Ограничение на использование корма 1: 2x₁+3x₂£180

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 4 ед. корма 2, необходимо 4х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 1 ед. корма 2, необходимо 1х2 корма для песцов. Количество корма 2 для животных не должно превышать 240 единиц. Ограничение на использование корма 2: 4x₁+1x₂£240

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 6 ед. корма 3, необходимо 6х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 7 ед. корма 3, необходимо 7х2 корма для песцов. Количество корма 3 для животных не должно превышать 426 единиц. Ограничение на использование корма 3: 6x₁+7x₂£426

Получили математическую модель задачи:

F=16x1+12x2®max
2x1+3x2£180 4x1+1x2£240 6x1+7x2£426
x1³0, x2³0

Решив задачу одним из способов, рассмотренных в приложении, получим значения переменных: x₁=57; x₂=12; F_max=1056.

Решение задачи линейного программирования включает в себя не только формализацию и математическое решение, но и экономический анализ полученных результатов.

Экономический вывод:

Для получения максимальной прибыли в размере 1056 ден. ед. план развода животных должен быть таким: лисиц - 57 единиц, песец - 12 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:

"Корм 1" - 150 единицы при запасе 180 ед. (остаток 30 единиц);

"Корм 2" - 240 кг единицы при запасе 240 ед.;

"Корм 3" - 426 единиц при запасе 426 ед. .

 

Избыточным является ресурс "Корм 1", недостаточным - "Корм 2" и "Корм3".

Вид корма	Кол-во ед. на 1 животное		Общее кол-во корма
	лисица	песец
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Цена	16	12
Оптимальное кол-во	57	12
Реальные затраты	114	36	150	I
	228	12	240	II
	342	84	426	III
Целевая функция		1056	max

Вид корма	Кол-во ед. на 1 животное		Общее кол-во корма
	лисица	песец
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Цена	16	12
Оптимальное кол-во	57,0000003181818	11,9999997272727
Реальные затраты	=СУММПРОИЗВ (B12; B7)	=СУММПРОИЗВ (C12; C7)	180	I
	=СУММПРОИЗВ (B12; B8)	=СУММПРОИЗВ (C12; C8)	=СУММ (B14: C14)	II
	=СУММПРОИЗВ (B12; B9)	=СУММПРОИЗВ (C12; C9)	=СУММ (B15: C15)	III
Целевая функция		=СУММПРОИЗВ (B12: C12; B10: C10)	max

 

Задание 2.

Для кормления подопытного животного ему необходимо давать ежедневно не менее 15 ед. химического вещества А1 (витамина или некоторой соли) и 15 ед. химического вещества А2. Не имея возможности давать вещество А1 или А2 в чистом виде, можно приобретать вещество В1 по 1 д. е. или В2 по 3 д. е. за 1 кг, причем каждый кг В1 содержит 1 ед. А1 и 3 ед. А2, а кг В2 - 6 ед. А1 и 2 ед. А2.

Запасы веществ на складе: В1 - 7 кг, В2 - 9 кг.

Определить оптимальную закупку веществ В1 и В2 для ежедневного рациона.

Формализация задачи:

Пусть x₁ - количество В1, а x₂ - количество В2, которое необходимо использовать в рационе. Тогда целевая функция - стоимость продуктов равна:

F = 1x₁+3x₂ - min.

Составим систему ограничений.

1. Ограничение на содержание в рационе кормовых единиц - не менее 15 вещества А1 и не менее 15 вещества А2. В одной единице В1 содержится по 1 кормовой единице вещества А1 и 3 кормовые единицы вещества А2. В одной единице В2 содержится по 6 кормовых единиц вещества А1 и 2 кормовые единицы вещества А2.

2. Ограничение на содержание в рационе вещества А1 - не менее 15 единиц. Значит, 1x₁+6x₂ ≥ 15.

3. Аналогично рассуждая, составим ограничения на содержание вещества А2 - не менее 15 единиц. Значит, 3x₁+2x₂ ≥ 15.

4. Ограничение запасы вещества В1 и В2 x₁≤7_; x₂≤9;

Так как x₁ и x₂ - количество продукта, то x₁ и x₂ неотрицательны.

Получили математическую модель задачи о смесях:

F = 1x₁+3x₂ - min.

1x₁+6x₂ ≥ 15.

3x₁+2x₂ ≥ 15.

x₁≤7

x₂≤9

x₁ ³0

x₂ ³0

Решение: x₁=4; x₂=2; F_min=10.

Экономический вывод:

В суточном рационе должно содержаться 4 единицы вещества В1 и 2 единицы вещества В2. Стоимость такого рациона составит 10 ден. ед.

Питательность рациона составит:

Вещество А1 - 16 единиц, А2 - 16 единиц.

 

Хим вещество	Вещество заменитель		общее необходимое кол-во /cутки.
	B1	B2
A1	1	6	15
A2	3	2	15
цена	1	3
запасы	7	9
Оптимальная закупка	B1	B2
	4	2
Реальные замена	4	12	16
	12	4	16
Сумма	4	6
Целевая функция		10

 

Хим вещество	Вещество заменитель		общее нелбходимое кол-во / cутки.
	B1	B2
A1	1	6	15
A2	3	2	15
цена	1	3
запасы	7	9
Оптимальная закупка	B1	B2
	4	2
Реальные замена	=B9*B4	=C9*C4	=СУММ (B10: C10)
	=B9*B5	=C9*C5	=СУММ (B11: C11)
Сумма	=B9*B6	=C9*C6
Целевая функция		=СУММПРОИЗВ (B9: C9; B6: C6)

 

Задание 3.

На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 180, 60 и 80 единиц.

Этот груз необходимо перевезти в 4 магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 60, 40 и 80 единиц груза.

Тарифы перевозок единицы груза из каждого склада во все магазины задаются матрицей

2 3 4 3

С = 5 3 1 2

2 1 4 2

Составить план перевозок, стоимость которых является минимальной.

Пункты Отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1		B2		B3		B4
A1	180	x11	2	X12	3	x13	4	x14	3
A2	60	X21	5	x22	3	X23	1	x24	2
A3	80	X31	2	X32	1	x33	4	x34	2
Потребности		120		60		40		80

Пусть число пунктов отправления и число пунктов назначения равно 4 (n=4, m=4). Запасы, потребности и стоимость перевозок указаны в таблице:

Пусть x_ij - количество груза, перевезенного из пункта А_i в пункт В_j. Проверим соответствие запасов и потребностей:

180+60+80=320 > 120+60+40+80=300.

Задача открытая.

Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:

F = 2x₁₁+3x₁₂+4x₁₃+ 3x₁₄+5x₂₁+3x₂₂+1x₂₃+2x₂₄+2x₃₁+1x₃₂+4x₃₃+2x₃₄ (min).

Система ограничений определяется следующими условиями:

а) количество вывозимых грузов не больше запасов:

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄£ 180;

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄£ 60;

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄£ 80.

б) количество ввозимых грузов равно потребностям:

x₁₁+x₂₁+x₃₁= 120;

x₁₂+x₂₂+x₃₂= 60;

x₁₃+x₂₃+x₃₃= 40;

x₁₄+x₂₄+x₃₄= 80;

в) количество вывозимых грузов неотрицательно:

x₁₁ ³0; x₁₂ ³0; x₁₃ ³0; x₁₄ ³0

x₂₁ ³0; x₂₂ ³0; x₂₃ ³0; x₂₄ ³0

x₃₁ ³0; x₃₂ ³0; x₃₃ ³0; x₃₄ ³0

Получили формализованную задачу:

F = 2x₁₁+3x₁₂+4x₁₃+ 3x₁₄+5x₂₁+3x₂₂+1x₂₃+2x₂₄+2x₃₁+1x₃₂+4x₃₃+2x₃₄ (min).

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄£ 180;

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄£ 60;

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄£ 80.

x₁₁+x₂₁+x₃₁= 120;

x₁₂+x₂₂+x₃₂= 60;

x₁₃+x₂₃+x₃₃= 40;

x₁₄+x₂₄+x₃₄= 80;

x₁₁ ³0; x₁₂ ³0; x₁₃ ³0; x₁₄ ³0; x₂₁ ³0; x₂₂ ³0; x₂₃ ³0; x₂₄ ³0; x₃₁ ³0; x₃₂ ³0;

x₃₃ ³0; x₃₄ ³0.

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1	B2	B3	B4
A1	180	2	3	4	3
A2	60	5	3	1	2
A3	80	2	1	4	2
Потребности		120	40	60	80
	Потре-битель 1	Потре-битель 2	Потре-битель 3	Потре-битель 4
Поставщик 1	46	32	46	37	160
Поставщик 2	31	6	4	18	60
Поставщик 1	43	2	11	25	80
	120	40	60	80
Грузооборот				875,8	т. - км

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1	B2	B3	B4
A1	180	2	3	4	3
A2	60	5	3	1	2
A3	80	2	1	4	2
Потребности		120	40	60	80
	Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4
Поставщик 1	39,4444451388889	38,3333334166667	45,5555562777778	36,6666671666667	=СУММ (B11: E11)
Поставщик 2	37,7777775555556	0	3,88888869444445	18,33333375	=СУММ (B12: E12)
Поставщик 1	42,7777783055556	1,66666658333333	10,5555550277778	25,0000000833333	=СУММ (B13: E13)
	=СУММ (B11: B13)	=СУММ (C11: C13)	=СУММ (D11: D13)	=СУММ (E11: E13)
Грузооборот				=СУММПРОИЗВ (B11: E13; C3: F5)	т. - км