Графический анализ устойчивости сырья

1.6 Графический анализ устойчивости сырья

Количество используемого сырья S=х₁ + 4₂ .

Если SÎ[0; S(D)], то точкой максимума является точка E(0; x₁) пересечения оси Ох₁ и прямой ограничения по сырью (1).

Если SÎ[S(D); S(C)], то точкой максимума является точка R(x₁; x₂) отрезка DC пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (2)

Если SÎ[S(C); S(Р)], то точкой максимума является точка Q(x₁; x₂) отрезка CР пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (3)

Если SÎ[S(Р); ¥], то точкой максимума является точка Р(0; x₂) пересечения прямой (3) и оси Ох₂.

Координаты точки Е находятся из системы уравнений

х₁ + 4х₂ = S

х₂ = 0

Решаем ее:

х₁ = S , х₂ = 0.

Z*(S) = 165х₁^* + 456х₂^* =165S; u₁ = 165; u₂= 0; u₃ = 0

Координаты точки R находим из системы уравнений

х₁ + 4х₂ = S

3х₁ + 5х₂ =535

Решаем ее:

х₁ = (2140 - 5S)/7, х₂ = (3S-535)/7.

Z*(S) = 165х₁^* + 456х₂^* = 165 ´ (2140 - 5S)/7+ 456´ (3S-535)/7= 77,6S+ 15591,4;

u₁ = 77,6; u₂= 0; u₃ = 0.

Координаты точки Q находим из системы уравнений

х₁ + 4х₂ = S

2х₁ + 4х₂ = 368

Решаем ее:

х₁ = 368-S, х₂ = (2S-368)/4.

Z*(S) = 165х₁^* + 456х₂^* = 165 ´ (368-S)+ 456´ (2S-368)/4= 63S+ 18768;

u₁ = 25; u₂= 0; u₃ = 0.

Координаты точки Р

х₁ = 0, х₂ =92.

Z*(S) = 165х₁^* + 456х₂^* = 41952

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

S(D)= х₁ + 4х₂ =178,3+4´0=178,3,

S(C)= х₁ + 4х₂ =150+4´17=218

S(Р)= х₁ + 4х₂ =0+4´92=368

S	0£S<178,3	178,3£S<218	218£S<368	S³368
u1*(S)	165	77,6	63	0
Z*(S)	165S	77,6S+ 15591,4	63S+ 18768	41952

Интервал устойчивости [218;368)

2. Задача 2

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	3	3	2070
Оборудование (ст.час.)	3	5	2250
Трудоресурсы(чел.час.)	2	3	?
Цена реализации (руб.)	638	660

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 30 рублей за чел.-час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1 Построение математической модели оптимизации выпуска продукции. Для построения модели введем следующие обозначения:

х₁ – объем выпуска продукции А,

х₂ – объем выпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья: 3x₁ + 3x₂ £ 2070;

Ограничения по использованию оборудования: 3x₁ + 5x₂ £ 2250;

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х₁ и х₂: S = 2x₁ + 3x₂ .

Размер необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е. V=tS = t(2x₁ + 3x₂). Выручка от реализации произведенной продукции: Z = 638x₁ + 660x₂

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1.1V.

Подставляя в эту формулу выражения для Z и V, получим

Р = (638x₁ + 660x₂)– 1,1 t(2x₁ + 3x₂) = (638 – 2,2t)х₁ + (660 – 3,3 t)х₂

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих принимает следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х₁, х₂, удовлетворяющих ограничениям

3x₁ + 3x₂ £ 2070

3x₁ + 5x₂ £ 2250 (1)

х₁³0, х₂³0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Р = (638 – 2,2t)х₁ + (660 – 3,3 t)х₂ → max.

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V = tS = 2tx₁^* + 3tx₂*,

где х₁*, х₂* - оптимальное решение задачи (1). Модель (1) представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.

2.2 Определение оптимальной программы выпуска продукции. При фиксированной ставке оплаты труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:

3x₁ + 3x₂ £ 2070

3x₁ + 5x₂ £ 2250

х₁³0, х₂³0, Р = 616 х₁ + 627х₂ → max.

Графическое решение задачи изображено на рис. Точкой максимума является точка В с координатами х₁* = 600, х₂*= 90. Максимальный размер прибыли: Р* = 616´600 + 627 ´90= 426030 (руб.). Размер необходимого кредита: V* = 2tx₁^* + 3x₂* = 2´10´600 + 3´10´90 =14700 руб. Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 14700= 1470руб. Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x₁^* +3 x₂^* = 2´600 + 3´90 = 1470(чел.-час.).

2.3 Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы. Потребность в трудовых ресурсах S для обеспечения оптимального выпуска в объемах х₁*, х₂* определяются соотношением: S* = 2x₁^* + 3x₂^*.

Но оптимальный план выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно, величина S также зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для этого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции Р = (638 – 2,2t)х₁ + (660 – 3,3 t)х₂= h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением Р = 638 х₁ + 660 х₂ = h.

Если "закрепить" линию уровня в т.В и начать увеличивать значение параметра t, то точка пересечения линии уровня с осью Ох₂ начнет перемещаться вверх по оси Ох₂.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем: , t =20

Следовательно, точка В (600;90) остается точкой максимума пока tÎ[0;20).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[0;20):

Р* = (638 – 2,2t) ´600 + (660 – 3,3 t)´90 = 442200- 1617t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx₁^* + 3x₂* = 2´t´600 +3´t´90 = 1470t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 1470t = 147t руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x₁^* + 3x₂^* = 2´600 +3´90 =1470 (чел.-час.).

Если t=20, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(600;90) и C(690;0).

Если "закрепить" линию уровня в т.С и начать увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к оси Ох₁.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна оси Ох₁. Из равенства угловых коэффициентов получаем: ; t = 220 > 60.

Если tÎ[20; 30] точкой максимума станет точка С(690;0).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[20;30]:

Р* = (638 – 2,2t) ´690 + (660 – 3,3 t)´0 = 440220 – 1518t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx₁^* + 3x₂* = 2´t´690 +3´t´0=1380t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 138tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x₁^* + 3x₂^* = 2´690 +3´0 = 1380(чел.-час.). Итоги решения задачи представим в таблице:

Почасовая оплата труда t (руб.)	Оптималь-ный план выпуска Х*(t)= (x1*,x2*)	Величина спроса на трудовые ресурсы S*(t) (чел.-час.)	Размер необходимого кредита V*(t), (руб.)	Величина максимальной прибыли Р*(t) (руб.)
t = 10	(600;90)	1470	14700	426030
tÎ(10;20)	(600;90)	1470	1470t	442200- 1617t
t = 20	Отрезок ВС	[1380; 1470]	[27600;29400]	409860
tÎ(20;30]	(690;0)	1380	1380t	440220 – 1518t

3. Задача 3

Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях ограниченных финансовых ресурсов. Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

,

где Y — объем выпуска продукции (ед.).

Требуется: