Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K = 441; б) L =63

1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K = 441; б) L =63.

2. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y₁=656, Y₂ =984, Y₃=1312.

3. Известны объем выпуска продукции Y=984 и наличные трудовые ресурсы L=63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 90 (ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 30 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 21000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что ПФ задана на всем множестве K ≥ 0, L ≥ 0; найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решаем задачу для следующих значений параметров:

А	α	β	К	L	Y1	Y2	Y3	Lбаз	Yбаз	pK	pL	С
4	0,7	0,3	441	63	656	984	1312	63	984	30	90	21000

1) Производственная функция (ПФ) — функция, описывающая зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступают рабочая сила (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

где Y — объем выпуска продукции (ед.).

Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.

а) По условию K =441. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида: Y =4*

График функции представлен на рис.

б) По условию L = 63. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида: Y =4*

График функции представлен на рис.

2) Изокванта — совокупность всех комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K, L) в виде ее линий уровня.

По условию Y₁ =656;Y₂ =984; Y₃=1312.

Выпишем соответствующие этим значениям уравнения изоквант:

 =656;

=984;

=1312.

Для построения на декартовой плоскости OKL изоквант из их уравнений в явном виде выразим переменную L как функцию от переменной K:

 или .

Итак, уравнения трех изоквант запишем в следующем виде:

, отсюда ;

, отсюда ;

, отсюда .

Графики изоквант, выпуклые к началу координат кривые, изображены на рис. Различные комбинации (K₁, L₁) и (K₂, L₂) используемых ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте, дают один и тот же объем выпуска Y. Изокванта Y₃, расположенная выше изоквант Y₂ и Y₁,соответствует большему объему выпуска продукции (Y₃ > Y₂ > Y₁).

3) Известны объем выпуска продукции Y_баз = 984 (ед.) и наличные трудовые ресурсы L_баз =63 (тыс. чел.-час.) в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит Y = 1.1×Y_баз = 1.1×984 = 1082,4 (ед.).

Существует множество комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 1082,4 ед. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты , имеем: .

Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне L_баз =63 (тыс.чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит  (тыс. ст.-час.).

В базовом периоде потребность в оборудовании составляла (тыс. ст.-час.).

Потребность в ресурсах в плановом периоде

Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит L = 1.05×L_баз= 1.05×63 = 66,15 (тыс. чел.-час.),то потребность в оборудовании в плановом периоде составит  (тыс. ст.-час.).

Итак, при объеме трудовых ресурсов  потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину , определяемую соотношением .

4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам p_K = 30 (ден. ед. / тыс. ст.-час.) и p_L = 90 (ден. ед. / тыс. чел.-час.). Величина ее затрат C на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит

С = p_KК + p_LL = 30К + 90L.

 

Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 21000 ден. ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям

К + 90L ≤ 21000, (1)

К ≥ 0, L ≥ 0 (2)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

→ max. (3)

Так как Y — нелинейная функция, то эта модель представляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1) называется бюджетным ограничением.

Графическое решение задачи производителя

Ее решение можно найти графическим методом. Для этого построим область допустимых решений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением 30K + 90L = 21000

Для определения оптимального решения проведем несколько линий уровня (изоквант) целевой функции, имеющих общие точки с областью допустимых решений. Как было показано в п. 2, чем выше находится изокванта, тем большему уровню целевой функции она соответствует (Y₂ > Y₁). Поэтому изокванта, соответствующая максимально возможному объему выпуска, должна касаться граничной прямой бюджетного ограничения (1), а точка ее касания D будет оптимальным решением задачи.

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции grad Y = , вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС = (p_K, p_L) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство

.(4)

Поскольку  отсюда имеем, что

Следовательно, K = 7L. Подставляя полученное выражение K через L в уравнение граничной прямой АВ, получаем: 90L + 30*7L = 21000.

Отсюда имеем, что оптимальная величина трудовых ресурсов равна L^* = 70.

Оптимальный объем оборудования равен K^* = 7*L = 7*70 = 490, а соответствующий объем выпуска Y^* = 4*490^0.7∙70^0.3 ≈ 1093,3.

Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой в точке рыночного равновесия равна отношению цен этих ресурсов, т.е. .

Предельная эффективность финансовых ресурсов

=  = (4*0.7∙350^-0.3∙50^0.7)/30≈ 0.816,

что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден. ед. объем выпускаемой продукции возрастет на 0.816 ед.

Итак, получены следующие результаты.

1.   Фирма должна взять в аренду K^* = 490 тыс. ст.-час. оборудования и нанять по контракту L^* = 70 тыс. чел.-час. рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетном ограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y^* = 1093,3 ед.

2.   Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTS_KL= 0,333.