Средняя квадратическая – вместо значений признака используются его квадраты

5. Средняя квадратическая – вместо значений признака используются его квадраты.

а) средняя квадратическая простая

.

б) средняя квадратическая взвешенная

.

Любая взвешенная употребляется тогда, когда варианты имеет различную частоту. Употребление невзвешенной (простой) недопустимо. Вопрос о весах определяется по исходным данным.

Структурные средние применяются для характеристики внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. Это мода и медиана.

Мода (МО) – это чаще всего встречающийся вариант, это то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

В дискретном ряду распределения – это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота, соответствующая модальному интервалу;

- частота, предшествующая модальному интервалу;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (МЕ) – величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Для интервального ряда медианное значение, делящее всю совокупность на две равные части находится в интервале, чья кумулятивная частота (сумма накопленных частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Для этого применяется формула:

,

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

 - полусумма частот ряда;

 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу.

Решение типовых задач

Задача № 1.

На основании следующих исходных данных (табл. 1, графы 1 и 2) о производстве мыла и моющих средств предприятием за отчётный период определить общее количество выпущенной продукции в условно-натуральных единицах измерения (за условную единицу измерения принять мыло 40%-й жирности):

Таблица 1

Общий объём производства мыла и моющих средств по видам

Виды мыла и моющих средств	Кол-во, кг	Расчёты
		Коэф. перевода	Количество продукции в условно-натуральном исчислении, кг
1	2	3	4
Мыло хозяйственное 60%-й жирности	500		750
Мыло хозяйственное 40%-й жирности	250		250
Мыло туалетное 80%-й жирности	1500		3000
Стиральный порошок 10%-й жирности	2500		625
Итого	-		4625

Ход решения:

Для определения общего количества выпущенной предприятием продукции необходимо исчислить коэффициенты перевода. Если условной единицей измерения является мыло 40%-й жирности, то это значение жирности принимается равным единице. Расчёт коэффициентов перевода представлен в графе 3. Далее определим количество продукции в условно-натуральных единицах измерения (графа 4) путём перемножения данных граф 2 и 3.

Вывод: Общий объём производства мыла и моющих средств в 40%-м исчислении составил 4625 кг.

Задача № 2.

По данным о розничном товарообороте определить относительные величины выполнения договорных обязательств, динамики, координации.

Таблица 1

Универмаги	Розничный товарооборот, млн. грн.
	Фактический за базисный год	Отчётный год
		План	Факт
«Крым»	80	85,6	85
«Центральный»	110	117	120

Ход решения:

 

 

 

Вывод: Универмаг «Крым» недовыполнил обязательства на 0,7 %, а универмаг «Центральный» перевыполнил обязательства на 2,6 %. Товарооборот универмага «Крым» в отчётном году вырос на 6,3 %, а «Центрального» – на 9,1 %. В базисном году на 1 млн. грн. универмага «Крым» приходилось 1,375 млн. грн. универмага «Центральный», а в отчетном соответственно 1,4 млн. грн.

Задача № 3.

Имеются следующие данные о выполнении норм выработки рабочими.

Определите моду и медиану.

Таблица 1

Группа рабочих по выполнению норм выработки, % (х)	Число рабочих, % к итогу (f)	Накопленные частоты, %,
90-100	28	28
100-110	48	76
110-120	20	96
120-130	4	100
Итого	100	300

Ход решения:

1. Определим моду:

;

.

2.Определим медиану:

Вывод: мода равна 104,2%, медиана равна 104,58%.

Задача № 4.

На протяжении недели два акционерных банка, которые продавали акции по цене 2,0 и 3,0 грн. за одну, получили одинаковую выручку: по 1200 грн. Определить среднюю цену акции.

Ход решения:

Средняя цена акции определяется делением общей выручки двух банков (2400) на общее количество проданных акций (1000 шт.), вычисленную делением выручки каждого банка на цену акции: (1200/2) + (1200/3).

Расчёт можно представить в виде формулы:

,

где  - цена акций;  - выручка от реализации.

 грн.

Поскольку выручка от реализации акций в двух банках одинакова (), то эту величину можно вынести за скобки в числителе и знаменателе и сократить:

 грн.

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача № 5.

Введение в действие жилья населением за свой счёт характеризуется следующими коэффициентами снижения (относительно предыдущего года):

Таблица 1

Год	2000	2001	2002
Коэффициент	0,93	0,81	0,99

Определить среднегодовой коэффициент снижения объемов введённого в действие жилья населением за свой счёт за 2000-2002 гг.

Задача № 6. Урожайность и валовой сбор ячменя бригадами совхоза «Заря» характеризуется следующими данными: Определить среднюю урожайность ячменя по совхозу. Таблица 1

Номер бригады	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, ц
1	2	3
№1	22,0	5500
№2	23,0	6900
№3	22,5	7200

Задача № 7.

Плодоконсервным заводом выработано за месяц помидоров маринованных 30 тысяч банок объёмом 801 см³ и томатного сока 60 тысяч банок объёмом 200 см³.

Определите объём выработанной продукции в условно-натуральных единицах, т.е. в банках емкостью 353,4 см ³.

Задача № 8.

Численность населения Донецкой области составляет 5 267 000 чел., а в Киевской – 1 912 000 чел. Определить относительную величину сравнения. Сделать статистический вывод.

Задача № 9.

В Украине родилось за год 442,6 тыс. детей, среднегодовая численность населения – 50,9 млн. чел. Определить относительную величину интенсивности. Сделать статистический вывод.

Тесты для закрепления материала

Тест 1

Величина средней арифметической зависит от:

а) величины частот;

б) соотношения между частотами;

в) величины вариант.

Тест 2

Средние значения признака в двух совокупностях одинаковые. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях разной:

а) да;

б) нет.

Тест 3

Средние значения признака в двух совокупностях различны. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях одинаковой:

а) да;

б) нет.

Тест 4

К средним структурным величинам в статистике относят:

а) мода;

б) медиана;

б) варианта.

Тест 5

Мода – это:

а) наиболее часто встречающаяся величина признака в совокупности;

б) средняя структурная квадратическая;

Тест 6

Абсолютные величины выражаются в таких единицах измерения:

а) килограммах, метрах, тоннах, штуках;

б) коэффициентах, процентах, промилле.

Тест 7

Абсолютные показатели – это показатели, которые выражают:

а) размеры, объёмы, уровни социальных явлений и процессов;

б) числовые соотношения, характерные для конкретных социальных явлений.

Тест 8

Виды абсолютных величин:

а) индивидуальные, суммарные;

б) структуры, интенсивности, координации.

Тест 9

Относительными показателями называются показатели, которые выражают:

а) размеры, объёмы, уровни социальных явлений и процессов;

б) числовые соотношения, характерные для конкретных социальных явлений.

Тест 10

Относительные величины выражаются в:

а) килограммах, метрах, тоннах, штуках;

б) коэффициентах, процентах, промилле.

Тест 11

Виды относительных величин:

а) индивидуальные, суммарные;

б) динамика выполнения плана, планового задания.

Литература

1.   Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.Ш., Сторожук В.П., Ткач Є.Ш. – К.: Либідь, 2001. - 320 с.

2.   Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач та ін. 2-е вид.,перероб. і доп. – К. : КНЕУ, 2000. – 467 с.

3.   Захожай В.Б., Попов І.І., Коваленко О.В. Практикум з основ статистики: Навч. посіб. – К.: МАУП, 2001.- 176 с.

Тема 5. Анализ рядов распределения

План лекционных занятий

9.Ряды распределения.

9.1.Виды рядов распределения.

9.2.Основные характеристики и графическое изображение вариационного ряда.

10.Показатели вариации.

10.       1.Понятие вариации и основные показатели.

10.2.Математические особенности дисперсии.

10.3.Виды дисперсий.

Методические указания:

В результате обработки и систематизации первичных статистических материалов получаются ряды цифровых статистических показателей, которые характеризуют отдельные стороны изучаемых явлений. Эти ряды называются статистическими.

Статистические ряды бывают двух видов: ряды распределения и ряды динамики.

Статистические ряды

Ряды распределения Ряды динамики

Атрибутивные Вариационные

Дискретные Непрерывные

(Интервальные)

Ряды распределения – это ряды, которые характеризуют распределение единиц совокупности по какому-либо признаку (например, распределение производственного оборудования по видам и срокам службы). Ряд распределения состоит из двух элементов: вариант – значений группировочного признака  и частот – число повторений отдельных вариантов значений признака. Частоты, представленные в относительном выражении, называют частостями и обозначают. Например, вместо абсолютного числа рабочих, имеющих определённый разряд, можно установить долю рабочих этого разряда. Частости могут быть выражены в долях единицы или в процентах. Замена частот частостями позволяет сопоставить вариационные ряды с различным числом наблюдений.

По характеру вариации различают дискретные и непрерывные признаки. Дискретные признаки отличаются друг от друга на некоторую конечную величину, то есть даны в виде прерывных чисел. Например, тарифный разряд рабочих, количество детей в семье, число рабочих на предприятии. Непрерывные признаки могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину и в определённых границах принимать любые значения. Например, заработная плата рабочих, стоимость основных фондов предприятия.

Атрибутивный ряд распределения образуется по качественному признаку (распределение рабочих по профессиям, машин – по маркам). Вариационный ряд распределения образуется по количественному признаку. Он состоит из вариант и частот. В дискретном ряде распределения отдельные варианты имеют определённые значения (распределение рабочих по разрядам). В тех случаях, когда число вариантов дискретного признака достаточно велико, а также при анализе вариации непрерывного признака, когда значения этого признака у отдельных единиц могут вообще не повторяться, строятся интервальные ряды распределения. Интервал указывает определённые пределы значений варьирующего признака и обозначается верхней и нижней границей интервала.

Различают ряды распределения с абсолютными, относительными и накопленными частотами. Накопленные частоты называют кумулятивными.

Если приведён вариационный ряд с неравными интервалами, то для правильного представления о характере распределения необходимо рассчитать плотность распределения. Плотность распределения – это количество единиц совокупности, приходящихся на единицу величины интервала группировочного признака. Различают абсолютную () и относительную () плотность:

,

,

где - частота;

- удельный вес;

- размер интервала.

По форме ряды распределения бывают одно- двух- и многовершинными. Среди одновершинных распределений есть симметричные и асимметричные (скошенные), остро- и плосковершинные.

Если частоты вариантов равноудалены от центра значений признака, то такой вариационный ряд называется симметричным. Если вершина распределения смещена, то есть частоты по обе стороны от центра изменяются неодинаково, то такой вариационный ряд называется асимметричным, или скошенным.

Вариация – это такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию случайную и систематическую. Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих её факторов. Показатель вариации – это колеблемость отдельных значений признака. Степень близости данных отдельных единиц  к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей. К абсолютным и средним относятся: вариационный размах, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение, дисперсия. К относительным: коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

Вариационный размах – это разница между максимальным и минимальным значениями признака: . Он характеризует диапазон вариации. Его достоинства: простота вычисления и толкования.

Обобщающую характеристику может дать только средняя величина, в частности, средняя из отклонений вариантов от их средней, которая называется среднее линейное отклонение. Оно учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности и определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учёта знака этих отклонений:

 ,

или для сгруппированных данных:

.

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности.

Дисперсия () – средний квадрат отклонений, определяется как средняя из отклонений, возведённых в квадрат :

 или .

Формулу для расчёта дисперсии можно преобразовать следующим способом:

где - среднее значение квадратов признака,

- среднее значение признака.

Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии, это мера надёжности средней.

.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются всегда величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины:

.

3. Коэффициент вариации:

.

Можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию, внутригрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

1) Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности.

,

где  - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

2) Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, возникающую под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних  около общей средней .

,

где  - средняя по отдельным группам;

 - численность отдельных групп.

3) Внутригрупповая дисперсия характеризует вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов:

,

где  - номер группы.

4) Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, неучитываемых факторов и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

,

где  - групповая дисперсия.

Правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

.

Решение типовых задач

Задача № 1.

Имеются следующие данные о производительности ткачей за час работы.

Таблица 1

№ ткача	Изготовление ткани за час работы (х), м			№ ткача	Изготовление ткани за час работы (х), м
1	13	-2	4	7	18	-3	9
2	14	-1	1	8	19	-2	4
3	15	0	0	9	22	1	1
4	17	2	4	10	20	-1	1
5	16	1	1	11	24	3	9
6	15	0	0	12	23	2	4
Итого	90		10		126		28

Исчислим:

1)   групповые дисперсии;

2)   среднюю из групповых дисперсий;

3)   межгрупповую дисперсию;

4)   общую дисперсию.

Ход решения:

1.    Для расчета групповых дисперсий исчислим средние по каждой группе:

Расчет дисперсий по группам представлен в таблице. Подставив полученные значения в формулу, получим:

2.    Рассчитаем среднюю из групповых (частных) дисперсий:

.

3.    Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

 м.

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

4.    Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

.

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

Задача №2.

Имеются данные о распределении работающих по тарифным разрядам.

Таблица 1

Тарифный разряд	Число рабочих
2	1	2	-2,5	6,25	6,25
3	2	6	-1,5	2,25	4,5
4	6	24	-0,5	0,25	1,5
5	8	40	0,5	0,25	2
6	3	18	1,5	2,25	6,75
Итого	20	90			21,00

Определить дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Ход решения:

1.         Определяем среднюю величину по тарифному разряду:

.

2.         Определяем дисперсию:

.

3.         Среднее квадратическое отклонение:

.

4.         Определяем коэффициент вариации:

.

Вывод: Колеблемость среднего квадратического отклонения от средней составляет 23 %.

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача №3.

Имеются сведения о дневной выработке работников 4-го и 5-го разрядов.

Определить:

1.         Групповые дисперсии.

2.         Общую дисперсию.

3.         Среднюю из групповых.

4.         Межгрупповую дисперсию.

5.         Проверить полученные результаты по правилу сложения дисперсий. Сделать статистические выводы.

Таблица 1

Токарь 4-го разряда			Токарь 5-го разряда
№	Количество деталей , шт		№	Количество деталей , шт
1	2	3	4	5	6
1	7	49	1	9	81
2	7	49	2	10	100
3	8	64	3	12	144
4	8	64	4	13	169
5	9	81
6	11	121
Всего	50	428	Всего		494

Задача №4.

С целью установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 10 кустах винограда:

Наименование сорта винограда	Число проверенных кустов	Урожай винограда с каждого куста, кг
		Куст №1	Куст №2	Куст №3	Куст №4	Куст №5
1	2	3	4	5	6	7
Сорт «Ф»	3	6	5	7	-	-
Сорт «Б»	5	7	6	8	5	9
Сорт «В»	2	9	7	-	-	-

Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых (частных) дисперсий. Определить связь между сортом и его урожайностью.

Задача №5.

Есть две группы людей с разным годовым доходом, тыс. грн.:

Группа А 3 3 3 4

Группа Б 6 6 7

В какую группу нужно отнести человека с годовым доходом 5 тыс. грн.

Тесты для закрепления материала

Тест 1

Различают виды дисперсий для совокупности, разбитой на группы:

а) групповая;

б) средняя из групповых;

в) взвешенная;

д) межгрупповая.

Тест 2

Вариация – это:

а) колеблемость признака;

б) квадрат отклонений признака;

в) модельный интервал.

Тест 3

В статистике  означает:

а) размах вариации;

б) дисперсия;

в) коэффициент вариации.

Тест 4

Вариантами называются:

а) отдельные значения группировочного признака;

б) величины, которые показывают повторяемость признака;

в) величины, которые показывают удельный вес единиц с определённым признаком в их общем количестве.

Тест 5

Построен ряд распределения акционерных банков по количеству выпущенных акций. Вариантой считается:

а) количество банков;

б) количество акций.

Тест 5

Больницы Украины разделены по количеству больничных мест. Частотой считается:

а) количество больничных мест;

б) количество больниц.

Тест 6

Средние значения признака в двух совокупностях одинаковые. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях разной:

а) да;

б) нет.

Тест 7 Средние значения признака в двух совокупностях различны. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях одинаковой:

а) да;

б) нет.

Тест 8

Дисперсия представляет собой:

а) средний размер отклонений вариант;

б) средний квадрат этих отклонений;

Тест 9

Дисперсия может быть вычислена:

а) только для количественного признака;

б) для количественного и альтернативного признаков.

Литература

1.   Мармоза А.Т. Практикум з основ статистики. К.: Ельга, Ніка-Центр, 2003. – 344 с.

2.   Сборник задач по общей теории статистики. Учебное пособие. Изд. 2-е. /Под ред. Серга Л.К. – М.: Информационно-издательский дом «Филин», Рилант, 2001. – 360 с.

3.   Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.Ш., Сторожук В.П., Ткач Є.Ш. – К.: Либідь, 2001. - 320 с.

4.   Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач та ін. 2-е вид., перероб. і доп. – К. : КНЕУ, 2000. – 467 с.

Тема 6. Выборочный метод

План лекционных занятий

11.Выборочное наблюдение.

11.1.Понятие выборочного наблюдения.

11.2.Методы и способы отбора единиц в выборочную совокупность.

12.Ошибки выборочного наблюдения.

12.1.Определение средней и граничной ошибок выборки.

12.2.Определение необходимого объёма выборки.

12.3.Распространение выборочных результатов.

Методические указания:

 

Одним из наиболее распространённых в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод. Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой её части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно 5-10 %, реже до 15 – 25 %).

Выборочное наблюдение – это вид несплошного наблюдения, по характеристике отобранной части единиц которого судят обо всей совокупности. Различают генеральную и выборочную совокупности. Генеральная совокупность - это общая масса единиц, по которой осуществляют отбор для исследования. Часть генеральной совокупности, которая отобрана для исследования, называют выборочной (выборкой).

Выборочный метод отличается от других видов несплошного наблюдения двумя признаками: