Рангова кореляція – розрахунок коефіцієнта Спірмена (коефіцієнт кореляційних рангів)

4.1 Рангова кореляція – розрахунок коефіцієнта Спірмена (коефіцієнт кореляційних рангів)

Нехай  і  вибірки з безперервних розподілів (розподіл відмінний від нормального). Кожному значенню  поставимо у відповідність його ранг  у варіаційному рядові . Аналогічно, кожному значенню  поставимо у відповідність його ранг  у варіаційному рядові .

Ранговий коефіцієнт кореляції Спирмена , як і звичайний коефіцієнт кореляції, характеризує залежність між вибірками випадкових величин. Вибірковим значенням рангового коефіцієнта кореляції Спирмена називають величину

 (4.1)

Коефіцієнт  – непараметрична міра залежності між  і .

Гіпотеза  при альтернативній гіпотезі  перевіряється за допомогою статистики

 (4.2)

Якщо , то гіпотеза  відхиляється (тобто між  і  існує рангова кореляційна залежність), і не відхиляється в противному випадку. Рівень значимості критерію .

Порахуємо коефіцієнт Спирмена між X_i і Y в таблиці 2.1 з використанням спеціалізованої програми «Статистика».

N – обсяг вибірок

Spearman R – коефіцієнт рангової кореляції Спирмена

t (N‑2) – статистика  для перевірки гіпотези

p-level – р-уровень

Тому що , то гіпотеза  відхиляється (або, що те ж р-level<0,05, тому гіпотеза відхиляється).

Ранговий кореляційний зв'язок між X_i і Y є значимим.

Порахуємо коефіцієнт Спирмена між X_j і Y в таблиці 2.1 з використанням спеціалізованої програми «Статистика».

Тому що , то гіпотеза  відхиляється (або, що те ж р-level<0,05, тому гіпотеза відхиляється).

Ранговий кореляційний зв'язок між Xj і Y є значимим.

На основі наведених даних спостережень будуються лінійна одновимірні Y=f(Xi) та багатовимірні Y=f (Xi, Xj) регресійні моделі, які встановлюютьє залежність результативної ознаки Y – середньорічного рівня надою молока від факторних ознак – Xi (кількості кормів на одну корову) та Xj (рівня приплоду телят на 100 корів) по 30 хазяйствам.

Одновимірна лінійна регресійна модель представляється як:

, (4.3)

де  – постійна складова доходу  (початок відліку);

 – коефіцієнт регресії;

– відхилення фактичних значень надою  від оцінки (математичного сподівання)  середньої величини надою в і-тому хазяйстві.

Існують різні способи оцінювання параметрів регресії. Найпростішим, найуніверсальнішим є метод найменших квадратів [48]. За цим методом параметри визначаються виходячи з умови, що найкраще наближення, яке мають забезпечувати параметри регресії, досягається, коли сума квадратів різниць  між фактичними значеннями доходу та його оцінками є мінімальною, що можна записати як

. (4.4)

Відмітимо, що залишкова варіація (4.4) є функціоналом  від параметрів регресійного рівняння:

 (4.5)

За методом найменших квадратів параметри регресії  і  є розв’язком системи двох нормальних рівнянь [48]:

, (4.6)

.

Розв’язок цієї системи має вигляд:

, (4.7)

.

Середньоквадратична помилка регресії, знаходиться за формулою

, (4.8)

Коефіцієнт детермінації для даної моделі

 (4.9)

повинен дорівнювати: >0,75 – сильний кореляційний зв’зок, 0,36>>0,75 – кореляційний зв’язок середньої щільності; <0,36 – кореля-ційній зв’язок низької щільності [48].

Для характеристики кореляційного зв’язку між факторною і результативною ознаками побудуємо графік кореляційного поля та теоретичну лінію регресії, визначимо параметри лінійного рівняння регресії.

Для перевірки істотності зв’язку потрібно порівняти фактичне значення статистики Фішера (F-критерій) з його критичним (табличним) значенням, яке потрібно визначити з урахуванням умов аналітичного групування і заданого рівня істотності, скориставшись таблицею.

При виконанні процедури перевірки значущості коефіцієнта детермінації висувається нульова гіпотеза H₀ проти альтернативи H₁, котрі полягають в наступному:

H₀: істотної різниці між вибірковим коефіцієнтом детермінації та коефіцієнтом детермінації генеральної сукупності не існує. Ця гіпотеза рівносильна гіпотезі H₀: b=0, тобто змінні X не впливають суттєво на залежну змінну Y. Для оцінки істотності коефіцієнта детермінації використовується статистика:

 (4.10)

що має F-розподіл Фішера з f₁=1 та f₂=n‑2=30–2=28 ступенями вільності.

Значення статистики порівнюється з критичним значенням цієї статистики, знайденим за таблицею при заданому рівні значущості a=0,05 та відповідному числі ступенів вільності. Якщо F>F_1,n-2,a, то обчислений коефіцієнт детермінації істотно відрізняється від нуля. Цей висновок забезпечується з ймовірністю 1-a. Рівень істотності a=0,05. Кількість ступенів вільності наступна: f₁=1, f₂=28.

Для лінійного зв’язку використовується лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона):

 (4.11)

який набуває значень у межах +-1, тому характеризує не лише щільність, а й напрямок зв’язку. Додатне значення свідчить про прямий зв’язок, а від’ємне – про зворотний.

Щільність зв’язку оцінюється індексом детермінації: R=, проте інтерпретується тільки R². Якщо коефіцієнт детермінації більше 0,6, то 60% варіації залежної величини пояснюється варіацією незалежного параметра кореляції і зв’язок є щільним.

На рис. 3.1 – 3.4 наведені лінійні та нелінійні регресійні одномірні моделі кореляційного зв’язку Y=F(Xi) та Y=f(Xj).Як видно з графіків рис. 3.1 – 3.2 коефіцієнт детермінації R² для лінійної кореляції знаходиться в діапазоні 0,35 – 0,5, тобто лінійний одномірний кореляційний зв’язок є слабої сили. При побудові нелінійних одномірних рівнянь регресії (рис. 3.3 – 3.4) коефіцієнт детермінації R² для нелінійної кореляції знаходиться в діапазоні 0,5 – 0,7, тобто нелінійний одномірний кореляційний зв’язок є сильним.

Рис. 3.1. – Побудова лінійної одномірної регресії Y=f(Xi) з використанням «електронних таблиць» Excel-2000

Рис. 3.2. – Побудова лінійної одномірної регресії Y=f(Xj) з використанням «електронних таблиць» Excel-2000

Рис. 3.3. – Побудова нелінійної одномірної регресії Y=f(Xi) з використанням «електронних таблиць» Excel-2000

Рис. 3.4. – Побудова нелінійної одномірної регресії Y=f(Xj) з використанням «електронних таблиць» Excel-2000

Похожие работы

Економічна ефективність виробництва великої рогатої худоби у ТОВ "Аграрій СВПП" с. Краснопілка, Уманського району, Черкаської області

Скачать

42865

6

2

... показників ефективності виробництва м’яса ВРХ [13]. 2.   Ефективність виробництва ВРХ у підприємстві   2.1     Характеристика природно-економічних умов підприємства Сільськогосподарське підприємство ТОВ «Аграрій СВПП» розташоване в с. Краснопілка, Уманського району, Черкаської області. Природно-кліматичні умови обумовлюються його місцезнаходженням в Лісостеповій зоні. Так середньорічна кільк ...

Статистичне вивчення виручки від реалізації молока

Скачать

104735

17

10

... : факторну і результативну. Факторною називається така ознака, під впливом якої змінюється інша ознака, що називається результативною. У табл.2.1.1 наведено статистичне вивчення виручки від реалізації молока Таблиця 2.1.1. Статистичне вивчення виручки від реалізації молока № Виробництво тонн Ціна за 1 тонну Виручка від реалізації, тис.грн 1 362,1 95,9 34,73 2 359,6 91,4 32,87 3 ...

Статистика сільського господарства

Скачать

43701

0

0

... в сільському господарстві у просторово-часових границях. Статистика сільського господарства має справу, по перше, з різними видами характеристик, які в певній мірі пов'язані між собою. Це означає: статистика сільського господарства займається класифікацією цих характеристик (показників). По друге, сукупність характеристик (показників) відноситься до сільського господарства, яке включає виробничі ...

Статистичне вивчення реалізації продукції птахівництва

Скачать

55731

19

16

... підприємства. На основі цього можна визначитися в можливих обсягах виробництва продукції кожного виду і з'ясувати резерви зростання її обсягів. Важливим моментом є визначення каналів реалізації кожного виду продукції птахівництва. Більш ефективною є реалізація її підприємством через фірмові магазини, ларкі та на ринках. Можлива також реалізація через оптові торговельні організації. Потрібно ...