Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ инвестиций

3.3. Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ инвестиций.

Для корреляционно-регрессионного анализа необходимо из нескольких факторов произвести предварительный отбор факторов для регрессионной модели. Сделаем это по итогам расчета коэффициента корреляции. А именно возьмем те факторы, связь которых с результативным признаком будет выражена в большей степени. Начнем наш анализ с рассмотрения следующих факторов:

-     Обменный курс рубля (поквартально, среднее значение за квартал) - x₁ (руб./дол.)

-     Доход на душу населения (поквартально, общее значение за квартал) – x₂ (руб./квартал)

-     Промышленное производство (поквартально, общее значение за квартал) – x₃ (млрд. руб./квартал)

 Рассчитаем коэффициент корреляции для линейной связи и для имеющихся факторов - x₁, x₂ и x₃. Коэффициент корреляции определяется по следующей формуле:

где:  и  – дисперсии факторного и результативного признака

соответственно;

xy – среднее значение суммы произведений значений факторного и
результативного признака;

x и y – средние значения факторного и результативного признака

соответственно.

 Данные, необходимые для расчётов представлены в приложении G.

Для фактора x₁ после подстановки данных в формулу, получаем следующий коэффициент корреляции r₁:

Для фактора x₂ после подстановки данных в формулу, получаем следующий коэффициент корреляции r₂:

Для фактора x₃ после подстановки данных в формулу, получаем следующий коэффициент корреляции r₃:

По полученным данным можно сделать вывод о том, что:

1)    Связь между x₁ и y прямая (так как коэффициент корреляции положительный) и слабая, так как она находится между 0,21 и 0,30. Тем не менее, будем использовать фактор в дальнейших расчётах.

2)    Связь между x₂ и y прямая (так как коэффициент корреляции положительный) и умеренная, так как она находится между 0,31 и 0,40. Данный фактор также будем использовать в дальнейших расчётах.

3)    Связь между x₃ и y отсутствует, так как коэффициент корреляции меньше 0,15. Таким образом, возникает необходимость исключить данный фактор из дальнейших исследований.

В целом мы выполнили поставленную задачу, определив два наиболее влиятельных фактора для дальнейших исследований. Это: обменный курс рубля (слабая связь) и доход на душу населения (умеренная связь).

Далее для данных факторов x₁ и x₂ рассчитываем показатели вариации для анализа исходных данных:

- размах колебаний - R;

- среднее линейное отклонение - d;

- дисперсию - ;

- среднее квадратичное отклонение - ;

- коэффициент вариации - V.

Данные показатели рассчитываются по следующим формулам:

где:

х_мах и х_min - соответственно максимальное и минимальное значения

фактора.

Рассчитаем данные показатели для факторов x₁ и x₂ . Данные для расчётов можно взять из приложения G. Для x₁ :

R = 28,534 - 6,048 = 22,486 ;

d = 88,14/12 = 7,345;

Коэффициент вариации V > 15%. Из этого можно сделать вывод, что совокупность нельзя признать однородной. Данная модель не может применяться на практике, однако в учебных целях продолжим наш анализ, используя данный фактор.

Для x₂ :

R = 7748,7-2500,9 = 5247,8 ;

d = 16740,5/12=1395,04;

Полученный коэффициент вариации V также больше 15%, поэтому можно сделать вывод о том, что совокупность нельзя признать однородной, а следовательно использовать модель на практике. Однако в учебных целях продолжим рассмотрение влияния данного факторного признака на наш результативный признак.

Для фактора x₁ (обменный курс рубля (поквартально, среднее значение за квартал), руб./дол.) проанализируем две следующие формы связи:

- Линейную (прямая форма связи);

- Параболическую;

Уравнение прямой имеет следующий вид: ŷ = a + bx₁

Для вывода данного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

Уравнение параболы имеет следующий вид: ŷ = a + bx₁ + cx₁²

Для вывода данного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

Все необходимые расчеты параметров А и B для линейной модели представлены в приложении I, а для А, В и С для параболы представлены также в приложении I.

После расчетов получаем два параметризованных уравнения:

Прямая – ŷ = 540,301 + 7,476*x₁;

Парабола – ŷ = -111,026 +113,276*x₁ – 3,068*(x₁)²

По нижеприведённой формуле рассчитаем ошибки аппроксимации для уравнений прямой и параболы (данные в приложении J). У какого уравнения будет наименьшая ошибка, то и оставляем для дальнейшего исследования:

Рассчитаем ошибку аппроксимации для прямой:

Рассчитаем ошибку аппроксимации для параболы:

Так как минимальная ошибка аппроксимации в уравнении параболы (7,35%), то данное уравнение мы оставляем для дальнейшего анализа. Однако эта ошибка больше 5%, то есть данную модель нельзя использовать на практике, но в учебных целях продолжим наш анализ, используя уравнение параболы.

Для уравнения проведем оценку параметров на типичность по формулам:

Данные для расчёта - в приложении G и J.

где: S² – остаточная уточненная дисперсия;

S – среднее квадратическое отклонение от тренда;

ŷ_t – расчетные значения результативного признака;

m_a, m_b, m_c – ошибки параметров;

t_a, t_b, t_c – расчетные значения t критерия Стьюдента.

Рассчитаем значения данных величин:

S² = 486117,16/10 = 48611,716;

m_b = m_c= 48611,716/852,15 = 57,046;

t_b = 113,276/57,046= 1,986;

tc = 3,068/57,046 = 0,054;

Сравним полученные значения для α = 0,05 и числа степеней свободы

V = 10 (12 – 2) с теоретическим значением t-критерия Стьюдента. Для

α = 0,05 и числа степеней свободы V = 10 значение t_теор = 2,228. Расчетные значения t_a , t_b и t_c < t_теор. Это значит, что данный параметр не типичен, что еще раз говорит нам о том, что данную модель нельзя использовать на практике. Однако в учебных целях продолжим наше исследование.

 

Для фактора x2 (доход на душу населения (поквартально, общее значение за квартал) (руб./квартал)) рассмотрим две формы связи:

- Линейную (прямую форму связи);

- Гиперболическую;

Уравнение прямой будет иметь вид: ŷ = a + bx₂

Для вывода данного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

Уравнение гиперболы имеет следующий вид вид: ŷ = a + b(1/x₂)

Для вывода данного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

Все необходимые данные для расчётов представлены в приложении К.

После решения систем уравнений получается два параметризованных уравнения:

- ŷ = 472,3682 + 0,0476x₂ - уравнение прямой;

- ŷ = 916,844 – 909008,4(1/x₂) - уравнение гиперболы.

Рассчитаем ошибки аппроксимации для уравнений прямой и гиперболы. У какой модели она будет наименьшая, ту модель используем для дальнейшего исследования. Данные для расчёта ошибки аппроксимации находятся в приложении L.

Рассчитаем ошибку аппроксимации для прямой:

Для гиперболы рассчитаем ошибку аппроксимации:

Так как минимальная ошибка аппроксимации в уравнении гиперболы (9,19%), то данное уравнение мы оставляем для дальнейшего анализа. Однако эта ошибка больше 5%, то есть данную модель нельзя использовать на практике, но в учебных целях продолжим наш анализ, используя уравнение гиперболы.

Для уравнения проведем оценку параметров на типичность по формулам:

где: S² – остаточная уточненная дисперсия;

S – среднеквадратическое отклонение от тренда;

ŷ_t – расчетные значения результативного признака;

m_a, m_b – ошибки параметров;

t_a, t_b – расчетные значения t критерия Стьюдента.

 Подставим данные в формулы (приложение G и L) и рассчитаем значения данных величин:

S² = 631712,98/10 = 63171,298;

t_a = 916,844/72,555 = 12,64;

m_b = 63171,298/2663707,21 = 0,0237;

t_b = 909008,4/0,0237 = 38329626,04;

Полученные значения сравним с теоретическим значением t-критерия Стьюдента при α = 0,05 и V = 10 (12 – 2) составляет 2,228. Как видно из сопоставления t_a и t_b > t_теор, следовательно параметры типичны и существенны. По ним можно проводить дальнейший анализ.

Оценку существенности связи произведу на основе t-критерия Стьюдента. Он рассчитывается по следующей формуле:

где:

 r – коэффициент корреляции;

n – число уровней ряда;

После подстановки данных в формулу и произведённого расчёта получаем следующий показатель:

Так как t_{расчётное} > t _{теоретическое} , или 3,565 > 2,228 при уровне значимости

α = 0,05 и числе степеней свободы V = 10 (12 – 2), связь x₂ c y можно признать существенной и данный фактор можно использовать в дальнейшем анализе.

Для имеющихся факторов x₁ и x₂ составим уравнение множественной регрессии. Уравнение множественной регрессии изучает статистические закономерности между результативным признаком и несколькими факторами, влияющими на результат.

Для анализа уравнения множественной регрессии воспользуемся линейной формой связи. Составим линейное уравнение. На это есть следующие причины:

- Линейное уравнение легче подвергать анализу, интерпретации;

- В многочленах различных степеней каждый член степени, находящейся выше первой, может рассматриваться как новая переменная и таким образом уравнение переводится в линейную форму.

На основе имеющихся данных будем подвергать анализу во множественной регрессии следующие факторы:

-     обменный курс рубля (поквартально, среднее значение за квартал) - x₁ (руб./дол.)

-     доход на душу населения (поквартально, общее значение за квартал) – x₂ (руб./квартал)

 Данные факторы проверим на мультиколлинеарность, для чего рассчитаем коэффициент корреляции r_x1x2 ,то есть между факторами x₁и x_2. Он рассчитывается по формуле:

где:  и – дисперсии факторного и результативного признака соответственно;

x,y – среднее значение суммы произведений значений факторного и
результативного признака;

x и y – средние значения факторного и результативного признака

соответственно. Подставив имеющиеся данные (Приложение G и М) в формулу имеем следующее значение:

Полученный коэффициент говорит об очень высокой связи, то есть влияние одного фактора во множественной регрессии осуществляется через другой фактор, поэтому дальнейший анализ по обоим факторам вестись не может. Однако в учебных целях продолжим анализ.

Дольше проведу оценку существенности связи с помощью коэффициента множественной корреляции. Он показывает совокупное влияние факторов, включенных в модель и находится по следующей формуле по формуле:

где: r_yx1 – коэффициент корреляции между y и x1;

r_yx2 – коэффициент корреляции между y и x₂;

r_x1x2 – коэффициент корреляции между x₁ и x₂.

Подставив имеющиеся данные в формулу, получил следующую цифру:

Так как величина множественного коэффициента корреляции R < 0,8, то связь признаем не существенной, но, тем не менее, в учебных целях, провожу дальнейшее исследование.

Уравнение прямой имеет следующий вид: ŷ = a + bx₂ + cx₃

Для определения параметров уравнения необходимо решить систему:

Все необходимые данные, для расчёта данной системы уравнений представлены в приложениях М, К, L, J, I.

После произведённых расчётов имеем следующее уравнение прямой:

ŷ = -12,026 + 65,2763x₂ – 0,186x₃

Для данного уравнения найдем ошибку аппроксимации (все необходимые расчеты представлены в приложении N).

Так как ошибка аппроксимации E > 5%, то данную модель нельзя использовать на практике, но в учебных целях продолжим наш анализ.

Проведем оценку параметров на типичность по формулам:
где: S² – остаточная уточненная дисперсия;

S – среднеквадратическое отклонение от тренда;

ŷ_t – расчетные значения результативного признака;

m_a, m_b, m_c – ошибки параметров;

t_a, t_b, t_c – расчетные значения t критерия Стьюдента.

Рассчитаем значения данных величин:

S² = 2003603/10 = 200360,3;

;

;

t_a = -12,026/129,216 =-0,093;

m_b  = 200360,3/31964486,55 = 0,0063;

m_c = 200360,3/852,15 = 235,1233;

t_b = 65,276/0,0063 = 10361,269;

tc = -0,186/235,1233 = -0,0008.

Сравним полученные выше значения для α = 0,05 и числа степеней свободы V = 10 (12 – 2) с теоретическим значением t-критерия Стьюдента, который равен = 2,228, то есть t_теор = 2,228. Расчетные значения t_a (-0,093) и t_с (-0,0008) < t_теор, значит данные параметры не значимы и модель на практике использовать нельзя.

Вследствие полученных выше результатов можно сделать вывод о том, что данное уравнение не используется для прогнозирования. Однако в учебных целях доведем наш анализ до конца.

 Далее оценим существенность совокупного коэффициента множественной корреляции на основе F-критерия Фишера по формуле:

где:

n – число уровней ряда;

к – число параметров;

R – коэффициент множественной корреляции.

После расчета получаем:

Сравним F_расч с F_теор для числа степеней свободы U₁ = 9 и U₂ = 2, видим, что 0,045 < 19,38, то есть F_расч < F_теор - связь признаётся не существенной, то есть корреляция между факторами x₁, x₂ и у не существенна.