Подходы к определению многогранника и его видов
Подходы к определению выпуклого многогранника
Подходы к определению правильного многогранника
Учебник Атанасяна Л.С
Учебник Александрова А.Д
Задачи по теме «Призма»
Найдите боковую поверхность наклонного параллелепипеда с боковым ребром 32 см и смежными сторонами перпендикулярного сечения 10 см и 8 см
Через две неравные диагонали основания правильной 6-угольной призмы проведены диагональные сечения. Найдите отношение их площадей
Используя рис. 4.12, на котором изображена правильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1 и табл. 2
В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 4.14) апофема образует с плоскостью основания угол 1. Обозначьте этот угол на рисунке
Как ∆ABC (рис 3). Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно
Навигация
Подходы к определению выпуклого многогранника
Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии
94255
знаков
14
таблиц
23
изображения
1.2 Подходы к определению выпуклого многогранника.
После введения понятия многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники. Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоугольников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геометрии. Однако точный смысл понятия «выпуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать выпуклости рассматриваемых многоугольников и многогранников, нигде не объясняются. Учащиеся часто вообще не воспринимают смысла прилагательного «выпуклый» и лишь по привычке, машинально в ответ на предложение изобразить какой-либо четырехугольник рисуют фигуру, изображенную на рисунке l.4,а (а иногда даже фигуру, изображенную на рис 1.4,б), а не фигуру, изображенную на рис l.4,в. При этом может показаться, что лишь недостаток общей математической культуры заставляет их считать все четырехугольники выпуклыми, подобно тому как наиболее слабые школьники иногда не в состоянии представить себе четырехугольника, отличного от прямоугольника (рис. 1.4,б), параллелограмма или, в лучшем случае, от трапеции. В некоторых случаях игнорирование условия о выпуклости многоугольника или многогранника оказывается даже совершенно законным - какую, например, ценность имеет оговорка о выпуклости в теореме: сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) .180° Условие этой теоремы полностью сохраняет силу и для невыпуклых (простых) многоугольников; так, например, ясно, что сумма углов и невыпуклого четырехугольника (рис. 1.4,в) равна 360°. Правда, приводимое в школе доказательство теоремы справедливо лишь для выпуклых многоугольников.
Понятие выпуклого многогранника чаще всего вводят по аналогии с выпуклым многоугольником. Очень хорошо эта аналогия просматривается в учебнике Александрова [3]. Существует два способа определения выпуклого многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. Такой подход принят в учебниках [4] и [22]. Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком. Такое определение дается в учебнике [28]. В учебнике [3] за основу берется второе определение и доказывается возможность другого (в нашем случае первого) определения.
Остановимся подробнее на втором определении. Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигуры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре. При этом соединяющая линия может оказаться довольно сложной (рис 1.5). Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, соединяющей две ее точки А, В, всегда можно выбрать самую простую линию - прямолинейный отрезок АВ. Такие фигуры называются выпуклыми.
Фигура F называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя точками А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ. Примеры выпуклых фигур показаны на рис.1.6; на рис. 1.7 изображены некоторые невыпуклые фигуры.
Кроме плоских, можно рассматривать пространственные выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми телами). Примерами могут служить тетраэдр, параллелепипед, шар, шаровой слой и другие.
Выпуклые тела в пространстве можно определить как пересечение некоторого множества полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно представить в виде пересечения конечного числа полупространств. Такие выпуклые тела называются выпуклыми многогранниками.
Свойство, положенное в основу определения выпуклых фигур (существование в фигуре прямолинейного отрезка, соединяющего любые две ее точки), с первого взгляда может показаться несущественными, даже надуманным. В действительности же выделяемый этим определением класс выпуклых фигур является весьма интересным и важным для геометрии. Дело в том, что «произвольные» геометрические фигуры могут быть устроены необычайно сложно. Например, определить, находится ли точка А «внутри» или «вне» замкнутого многоугольника, изображенного на рис1.8, совсем не просто. Если же рассматривать фигуры, не являющиеся многоугольниками, то можно столкнуться и с гораздо большими сложностями. Существует, например, плоская фигура, ограниченная не пересекающей себя замкнутой линией и в то же время не имеющая ни площади, ни периметра . Для выпуклых фигур такие чудовищные явления не могут иметь места: внутренняя область выпуклой фигуры сравнительно просто устроена, любая ограниченная плоская выпуклая фигура обладает определенными площадью и периметром, а пространственное выпуклое тело - объемом и площадью поверхности и т. д. Таким образом, выпуклые фигуры составляют класс сравнительно просто устроенных фигур, допускающих изучение геометрическими методами.
С другой стороны, класс выпуклых фигур является достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые в элементарной геометрии, либо являются выпуклыми, либо представляют собой несложные комбинации выпуклых фигур и тел. [6]
Похожие работы
... имеют достаточно четкое и правильное представление из собственного жизненного опыта, а формулировки которых являются слишком громоздкими. Выводы по § 1 1. Основные цели изучения темы «Объемы многогранников» в курсе стереометрии – развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся. ...
... . Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с помощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание относят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики неопозитивисты усматривают в том, что в ней доминируют бесполезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий ...
... заданиями, особенно, если карточка с заданием индивидуальна и ученик может работать в ней. Глава II Использование различных форм контроля на уроках математики. Одним из существенных моментов в организации обучения является контроль за знаниями и умениями учащихся. От того, как он организован, на что нацелен существенно зависит содержание работы на уроке, как всего класса в целом, так и ...
... итог сказанному выше, можно утвердительно сказать о том, что поступление названных учебников «Моя математика» в школы даст возможность учителям начального звена обучения более системно и продуктивней осуществлять развитие пространственных представлений младших школьников. Заключение Из курсов педагогики и методики математики известно, что деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. ...
0 комментариев