Интеграл как приращение первообразной

2.   Интеграл как приращение первообразной.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона – Лейбница практически служит определением интеграла.

При этом подходе не требуется специально выводить формулу Ньютона – Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге все – таки приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.

5) В учебнике Ш. А. Алимова «Алгебра и начала анализа» перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x). Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.

Задачи приложений, приведенные в выше рассмотренных учебниках, это наиболее распространенные примеры применения интеграла, однако, они не описывают и половины всех возможных приложений интеграла в физике.

 

1.4. Физические модели при введении понятия интеграла

Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).

Интеграл как предел интегральных сумм.

1. Работа переменной силы.

Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы. [2], [8]

Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs, где s – путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F(х) в каждой точке х некоторого промежутка [a; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?

Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [x_k-1; x_k] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k. Работу на k – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F(x_k)Δx_k, а на всем отрезке – суммой:

A_n=F(x₁) Δx₁+…+F(x_n) Δx_n. (1)

Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1).

Сумму (1) называют интегральной суммой функции F(x) на отрезке [a; b]. При этом предполагается, что функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b] и может принимать любые значения. Если  и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма A_n стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F(x) на отрезке [a; b] и обозначают .

 2. Задача о вычислении массы стержня.

Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]

Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p=p(x). Найти массу стержня.

Рассмотрим массу стержня на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [x_k-1; x_k] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k. Массу на k – отрезке приближенно можно представить как произведение р(x_k)Δx_k, а на всем отрезке – суммой:

m_n=p(x₁) Δx₁+…+p(x_n) Δx_n.  (2)

Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2). Точное значение массы стержня вычисляется по формуле

.

Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы.