РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ КАЖДОГО ИЗ МЕТОДОВ

3.   РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ КАЖДОГО ИЗ МЕТОДОВ

3.1Метод Нелдера-Мида

Построим симплекс состоящий из 3-х вершин. Длину ребра t возьмем равной 1 .

Начальные координаты симплекса :

Проводим сортировку по значениям функции для поиска точки с наименьшей функцией. Далее записываем симплекс таким образом, чтобы первая точка была лучшей, а каждая последующая – хуже.

Для осуществления оптимизации вычислим новую точку как отражение самой «плохой» вершины относительно центра тяжести симплекса. Формула для вычисления новой точки:

Затем, после сравнения значения функции в новой точке со значениями функции в остальных трех, а также после осуществления одного из четырех действий (замены, сжатия, растяжения и редукции), строится новый симплекс.

Одно из четырех действий, указанных выше, выполняется в соответствии с значением функции в новой точке, по отношению к значению функции в старых точках.

Замена происходит в случае, если новая точка лучше чем лучшая.

Если выполняется условие , то при этом реализуется отражение. Точка  заменяет .

При выполнении условия  осуществляется сжатие и отыскивается точка  :

Параметр  принимается равным 0,5. Точка  заменяет . Таким образом полученная точка заменяет самую «плохую»

Если новая точка окажется самой «плохой», необходимо осуществить редукцию (уменьшение размера симплекса путем приближения всех его вершин к лучшей вершине)

После выполнения указанных действий проверяется параметр останова. В случае, если он признан большим, чем выбранное значение точности, действия повторяются снова. Параметр останова рассчитывается по формуле :

Результат работы метода представлен в таблице 3.1

Таблица 3.1 – Решение задачи минимизации при помощи метода Нелдера-Мида

В результате решения задачи минимизации с помощью метода Нелдера-Мида получено следующее значение функции :  . Данный оптимум достигается в точке . Этот метод позволяет найти минимум (при начальной точке Х (1 ; 1)) за 29 итераций при точности решения . При этом параметр останова равен 0,0000921.

3.2Градиентный метод с дроблением шага

Для реализации процедуры необходимо вычислить градиент:

В процедуре используется критерий останова, который вычисляется по формуле:

,

где E – заданная точность решения (в данной задаче E=).

Результат работы метода представлен в таблице 3.2

Вследствие того, что таблица содержит 1263 итерации, целесообразно предоставить первые и последние 25 итераций.

Таблица 3.2 – Решение задачи минимизации при помощи градиентного метода

В результате реализации градиентного метода минимальное значение функции составляет . Данный оптимум достигнут в точке . Этот метод позволяет найти минимум (при начальной точке Х(1;1) за 1263 итерации при точности решения . При этом параметр останова равен 0,000099491.

Похожие работы

Обзор методов оптимизации кода для процессоров с поддержкой параллелизма на уровне команд

Скачать

82492

2

0

... практичных алгоритмов оптимизированного перебора, позволяющих за разумное время осуществлять распараллеливание достаточно больших участков. Анализ работ, посвященных оптимизации кода для процессоров с параллелизмом на уровне команд показывает, что для достижения наилучших результатов необходимо применение комплекса оптимизаций, среди которых можно выделить следующие классы. Преобразования циклов ...

Сравнительный анализ методов оптимизации

Скачать

42464

5

31

... 4 - график унимодальной, но не выпуклой функции Таким образом, кроме перечисленных свойств, выпуклые функции обладают также и всеми свойствами унимодальных функций. 2. Прямые методы безусловной оптимизации Для решения задачи минимизации функции f (х) на отрезке [а; b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решение этой задачи с необходимой точностью ...

Линейное программирование как метод оптимизации

Скачать

31981

11

10

... переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств. Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи: ·  рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя; ·  оптимизации производственной программы ...

Методы оптимизации функций многих переменных

Скачать

34366

0

16

... , Флетчера-Ривса). Методы второго порядка, использующие, кроме того, и информацию о вторых производных функции f (x) (метод Ньютона и его модификации). Метод конфигураций (Хука - Дживса) Следует выделить два этапа метода конфигураций: 1) исследование с циклическим изменением переменных и 2) ускорение поиска по образцам. Исследующий поиск начинается в точке х0, называемой старым базисом. ...