Если u=0. т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то R=0, и уравнение (1.26) принимает вид

1.   Если u=0. т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то R=0, и уравнение (1.26) принимает вид

где - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет , например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см. задачу 10, пункт 1-й).

2.   Если u=-v, т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (1.28) принимает другой вид

или

иначе говоря, в этом частном случае – и только этом – действие силы F определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. задачу 10, пункт 2-й).

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Пример. Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью u. Найти зависимость скорости ракеты от ее массы , если в момент старта ее масса была равна .

В данном случае F=0 и из уравнения (1.28) следует

.

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим

где знак минус показывает, что вектор v (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору u. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае (u=const) не зависит от времени сгорания топлива: v определяется только отношением начальной массы  ракеты к оставшейся массе m.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью u относительно ракеты , то скоростью последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость v, то из закона сохранения импульса для системы ракета – горючее следует

,

где u+v - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда

скорость ракеты v в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости v от  в обоих случаях. С ростом  в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость v ракеты, согласно (1), растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость v, согласно (2), стремится к пределу, равному - u.

Задачи к главе 1

 

1.1. Частица движется с импульсом  под действием силы F(t). Пусть a и b – постоянные векторы, причем a ^ b. Полагая, что:

1)   , где  - положительная постоянная, найти вектор F в те моменты времени, когда F ^ p;

2)   , где - вектор, противоположный по направлению вектору а, найти вектор p в момент , когда он окажется повернутым на 90^○ по отношению к вектору .

Решение. 1. Сила  , т. е. вектор F все время перпендикулярен вектору a. Следовательно, вектор F будет перпендикулярен вектору p в те моменты, когда коэффициент при b в выражении для  обращается в нуль. Отсюда  и соответствующие значения вектора F равны:

2. Приращение вектора p за промежуток времени  есть  Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим

 

где, по условию,  противоположен вектору а. Вектор p окажется перпендикулярным вектору  в момент , когда . В этот момент .

Рис. 6

1.2. Через блок (рис. 6) перекинут шнур на одном конце которого находится лестница с человеком А, а на другом – уравновешивающий груз массы М. Человек , масса которого m, совершил вверх перемещение  относительно лестницы и затем остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, а также трением в оси блока, найти перемещение центра инерции этой системы.

Решение. Сначала все тела системы покоились, поэтому приращение импульсов тел при движении равно самим импульсам. Силы натяжения шнура слева и справа одинаковы, а следовательно импульсы груза  и лестницы с человеком  в каждый момент времени будут равны между собой, т. т. , или

,

где v₁, v и v₂ - - скорости груза, человека и лестницы. Учитывая , что v₂= -v₁ и v=v₂ + v¢, где v¢ - скорость человека относительно лестницы, получим

v₁= (m/2M)v¢. (1)

С другой стороны , импульс всей системы. Отсюда с учетом (1) найдем

.

И наконец, искомое перемещение

.

Другой способ решения основан на свойстве центра инерции данной системы характеризуется радиусом – вектором

,

где  - радиусы-векторы центров инерции груза M, лестницы и человека относительно некоторой точки О данной системы отсчета. Отсюда перемещение центра инерции равно

,

где

-перемещения груза M, лестницы и человека относительно данной системы отсчета. Имея в виду, что получим в результате

.

1.3. система состоит из двух шариков с массами  , которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости , как показано на рис.7, после чего система начала двигаться в однородном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая, что в начальный момент пружинка не деформирована, найти:

1)   скорость  центра инерции этой системы в зависимости от времени;

2)   внутреннюю механическую энергию системы в процессе движения.

Рис. 7 рис. 8

Решение. 1. Приращение вектора скорости центра инерции, есть  . проинтегрировав это уравнение, получим , где -начальная скорость центра инерции. Отсюда

.