Навигация
2. Дано уравнение
x3-0,2x2+0,4x-1,4=0.
Решить его методом касательных с точностью решения
=0,001.
Для нахождения корня исследуем функцию
.
График функции представлен на рисунке 2.5
Рисунок 2.5 - График исследуемой функции
Находим отрезок, в котором функция монотонно возрастает или убывает, а также где концы отрезка будут иметь разные знаки.
Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.6
Рисунок 2.6 - График функции на выбранном отрезке
Проверяем существование корня на отрезке по условию
-3,066375
3,066375 <0, следовательно, на данном промежутке корень есть.
Исследуем функцию на монотонность:
6,2225>0
Экстремумов на выбранном отрезке нет.
Находим первую производную функции:
; 
В точке a первая и вторая производные равны:
, 
В точке b первая и вторая производные равны:
,
Выбираем тот конец отрезка, значение функции в котором совпадает со знаком 2-ой производной.
Принимаем:
x0= 1,5 
2.125*6.55=13,91875, 
По формуле
находим:
x>0.001
x>0.001
x>0.001
x<0.001
Необходимая точность достигнута при n=4, т.е. на 4-й итерации.
Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.
Теперь строим график функции x=
, т.е. последовательность xn, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является 
(рисунок 2.7).
Рисунок 2.7 - График функции для исследуемой функции
2.3 Метод хорд 2.3.1 Общие сведения
Как и в методе хорд, функция f (x) должна удовлетворять на отрезке [a, b] следующим условиям:
1) существование производных 1-го и 2-го порядков;
2) f ’ (x) 
0;
3) производные 1-го и 2-го порядков знакопостоянны на отрезке [a, b].
За начальное приближение x0 принимается один из концов отрезка [a, b], где значение функции имеет такой же знак, что и 2-я производная. За x1 выбирается второй край отрезка. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х0, х1,… точек пересечения хорды с осью абсцисс (рисунок 2.8).
Рисунок 2.8 - Метод хорд
Формула для n-го приближения имеет вид:
Итерационный процесс останавливают при выполнении условия 
; где ε - заданная точность.
2.3.2 Решение нелинейного уравнения методом хорд
Похожие работы
... уравнений (2) сводится к последовательному решению двух следующих систем уравнений с треугольными матрицами коэффициентов L Y = B; (6) U X = Y (7) линейный алгебраический уравнение численный где Y = - вектор вспомогательных переменных. Такой подход позволяет многократно решать системы линейных ...
... 4 - график унимодальной, но не выпуклой функции Таким образом, кроме перечисленных свойств, выпуклые функции обладают также и всеми свойствами унимодальных функций. 2. Прямые методы безусловной оптимизации Для решения задачи минимизации функции f (х) на отрезке [а; b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решение этой задачи с необходимой точностью ...
... – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами. Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х), осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена ...
... задачи, а именно: 1. Создана расчетная схема анализа на основании сравнительного анализа численных методов, а также программных и технических средств их осуществления; 2. Создан выбор метода автоматизированного анализа объекта проектирования; 3. Спланирован и проведен эксперимент, анализируя результаты которого, приходим к выводу, что данная модель может использоваться с параметрами: r = 5 R = ...
0 комментариев