Нахождение корней характеристического уравнения, используя МПИ

2.2 Нахождение корней характеристического уравнения, используя МПИ

Для того, чтобы линейная стационарная система была устойчивой, все корни её характеристического уравнения (полюса ПФ) должны располагаться в левой половине s-плоскости.

Если не все полюса ПФ находятся в левой полуплоскости, то система не будет являться устойчивой. Если какие-то корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, а все остальные корни в левой полуплоскости, то выходная переменная будет иметь вид незатухающих колебаний при ограниченном входе, если только этот вход не является синусоидой, частота которой равна абсолютной величине корней мнимой оси. Такую систему называют находящейся на границе устойчивости.

 

2.2.1 Вид характеристического уравнения

Запишем характеристическое уравнение найденной ПФ (формула 2):

2.2.2 Метод секущих.

Проведём локализацию корней:

Построим график функции  на интервале :

Рис.2. График характеристического полинома (3) на интервале

Уравнение имеет 1 действительный корень и 2 мнимых.

Уравнение решается методом секущих (4):

 (4)

Возьмем начальное приближение  и  для нахождения действительного корня.

S=-8.210097

Далее получим значения комплексных корней:

Подставим  в (5)

Получаем корни характеристического уравнения:

Вывод: 2 полюса передаточной функции находятся в правой полуплоскости. Система неустойчива.

2.2.3 Движение действительного корня полинома в s-плоскости

Построим график движения корня  в зависимости от номера итерации:

Рис.3. График движения корня  в зависимости от номера итерации

2.3 Аналитические выражения для АЧХ, ФЧХ, АФЧХ

График АЧХ:

Функции, определяемые зависимостями (6) и (7), называются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками.

Частотные характеристики определяются следующими показателями:

показатель колебательности  - характеризует склонность системы к колебаниям: чем выше , тем менее качественна система (как правило в реальных системах );

резонансная частота  - частота, при которой АЧХ имеет максимум (на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);

полоса пропускания системы – интервал от  до , при котором выполняется условие ;

частота среза  - частота, при которой АЧХ системы принимает значение, равное , т.е. ;

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение . Таким образом можно сделать вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.

2.4. Годограф АФЧХ и графики АЧХ и ФЧХ с указанием частот

Рис.4 График АЧХ заданной САУ

Рис.5 График ФЧХ заданной САУ

Рис.6 График АФЧХ заданной САУ