Регрессионный анализ данных

4. Регрессионный анализ данных.

 

На этом этапе, используя метод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионная зависимость(уравнение регрессии) результирующего показателя от оставшейся после предшествующих шагов анализа факторных показателей.

Линейная модель ,содержащая независимые переменные только в первой степени, имеет вид:

(2)

где а₀ – свободный член,

а_1…а_n – параметры уравнения (коэффициенты регрессии),

х_1….х_n – значения факторных признаков.

Параметры уравнения регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов , при этом решается система нормальных уравнений с к+1 неизвестными.

Для измерения степени совокупности влияния отобранных факторов на результативный признак рассчитывают совокупный коэффициент детерминации R² и совокупный коэффициент множественной корреляции R – общие показатели тесноты связи признаков. Пределы изменения : 0 ≤ R ≥ 1. Чем ближе R к 1 , тем точнее уравнение множественной линейной регрессии отражает реальную связь.

Проверка значимости моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t – критерия Стьюдента ( отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):

 (3)

Коэффициент регрессии считается статистически значимым , если t_{расчетное} › t_{табличное} с заданными параметрами (уровнем значимости α, = 0,05, и числом степеней свободы υ = n - к -1, где n – число наблюдений, к – число факторных признаков).

Проверка адекватности модели осуществляется с помощью F – критерия Фишера и величины средней ошибки аппроксимации, которая не должна превышать 12 – 15% . Если величина F_{расчетное} > F_{табличное} , то связь признается существенной. F_{табличное} находиться при заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы v₁ =k и v₂ = n-k-1. (4)

Модель без учета «Материальных затрат»

 

В таблице 8 сгенерированы результаты по регрессионной статистике.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997434896
R-квадрат	0,994876372
Нормированный R-квадрат	0,993168496
Стандартная ошибка	2219,306976
Наблюдения	13

Таблица 8

Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:

Множественный R – коэффициент корреляции R,

R-квадрат – коэффициент детерминации R²;

F табличное

3,862548358

 В таблице 9 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R².

Таблица 9

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	8607337323	2869112441	582,5226438	1,2734E-10
Остаток	9	44327911,1	4925323,455
Итого	12	8651665234

Df – число степеней свободы, SS – сумма квадратов отклонений,

MS - дисперсия MS, F – расчетное значение F-критерия Фишера,

 Значимость F – значение уровня значимости, соответствующее вычисленному F;

	Коэффи циенты	Стандарт ная  ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
полная  себесто- имость, тыс.руб	2857,593011	1130,014906	2,528810014	0,094646561	603,5411613	6318,727183
сырье, м погонный	132,3000047	8,941959918	14,79541464	1,27093E-07	112,071886	152,5281233
затраты  на оплату  труда, тыс.руб.	1,586039072	0,095432478	16,61948958	4,61669E-08	1,370155809	1,801922334
амортизация, тыс.руб.	3,357368468	0,582082818	5,76785358	0,000270158	2,040605653	4,674131282

 В таблице 10 сгенерированы значения коэффициентов регрессии и их

статистические оценки.

t табличное

2,306004133

 Таблица 10

Коэффициенты – значения коэффициентов регрессии,

Стандартная ошибка – стандартные ошибки коэффициентов регрессии,

t – статистика – расчетные значения t – критерия Стьюдента, вычисляемые по формуле 2,

Р-значения – значения уровней значимости ,соответствующие вычисленным значениям t,

Нижние 95% и Верхние 95% - соответствующие границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

В таблице 11 сгенерированы предсказанные значения результирующего фактора Y и значения остатков. Последние вычисляются как разность между предсказанным и исходным значениям Y.

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	78576,42428	-412,4242814
2	61255,20002	-187,2000206
3	33691,17456	-3127,174561
4	31418,51735	331,4826465
5	91894,70678	1716,293221
6	79104,48549	-2045,485491
7	56074,39615	-2280,396148
8	79355,80571	1974,194293
9	58940,14712	-1761,147116
10	88956,30336	682,6966372
11	49227,81005	2011,189951
12	18467,43597	3221,564032
13	10633,59316	-123,5931632

Таблица 11

Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис → Анализ данных → Регрессия.

 t_{табличное} рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из формулы (3).

F_{табличное} рассчитывалось с помощью функции FРАСПОБР исходя из формулы (4).

Модель без учета «Сырья»

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,983232832
R-квадрат	0,966746802
Нормированный R-квадрат	0,955662403
Стандартная ошибка	5653,863353
Наблюдения	13

Таблица 12

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	8363969696	2787989899	87,21688674	5,68904E-07
Остаток	9	287695537,3	31966170,81
Итого	12	8651665234

Таблица 13

	Коэффи циенты	Станда ртная  ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние  95%	Верхние 95%
полная  себесто имость, тыс.руб	1992,888488	4236,311712	0,470430087	0,649239402	-7590,314376	11576,09135
затраты на оплату труда, тыс.руб.	1,430363491	0,248983274	5,744817576	0,000278107	0,867124195	1,993602788
матери альные  затраты, тыс.руб	1,187585684	0,232389908	5,11031521	0,000636233	0,661883189	1,713288179
аморти зация, тыс.руб.	2,461032929	1,536123969	1,602105675	0,143596048	-1,013920904	5,935986761

t табличное

2,306004133

Таблица 14

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	65758,37475	12405,62525
2	60420,80042	647,1995839
3	30995,16308	-431,1630845
4	29093,4229	2656,577097
5	99410,20661	-5799,206609
6	74070,10843	2988,891574
7	55740,66995	-1946,669945
8	77635,1743	3694,825697
9	63565,34811	-6386,348112
10	89934,05543	-295,0554319
11	55762,64509	-4523,645092
12	23554,57043	-1865,57043
13	11655,4605	-1145,460501

Таблица 15

Все пояснения к таблицам , а также способ расчета, указаны в модели без учета «Материальных затрат» .

Перейдем к анализу сгенерированных таблиц обеих моделей.

Значение множественного коэффициента регрессии R в модели без учета «Материальных затрат» равно 0, 997, а в модели без учета «Сырья» равно 0,983. Это позволяет сделать вывод, что первая модель точнее отражает реальную связь.

 При оценке значимости коэффициентов регрессии с помощью сравнения расчетного и табличного значений t – критерия Стьюдента стало очевидно, что следует выбрать модель «Материальных затрат». В данной модели t_{расчетное}  найденных коэффициентов превышает t_{табличное} (см. таблицу 10) t – критерия Стьюдента, что позволяет сделать вывод, что коэффициенты регрессии в уравнении являются значимыми.

 Тогда как в модели без учета «Сырья» два коэффициента регрессии ниже t_{табличное} ( см. таблицу 14), что говорит об отсутствии их значимости.

Проверку адекватности модели осуществляем уже только с моделью без учета «Материальных затрат».

Значение средней ошибки аппроксимации не превышает 12-15 %, что хорошо видно на рисунке 2, так как разница между предсказанным и исходным результирующим фактором Y очень небольшая.

Рассчитанный уровень значимости (см. таблицу 9) равен 1,2734E-10 < 0,05, это подтверждает значимость R². Значение F_{расчетное} – критерия Фишера больше F_{табличное}, значит связь между признаками признается существенной.

Рисунок 2

Таким образом, получаем искомое уравнение регрессии:

Выводы: Выполнив данную работу по этапам, была построена экономико-математическая модель методом математической статистики на примере ОАО швейной фабрики «Березка». Модель имеет вид:

.

Выбранные факторы Х₁,Х₂ и Х₃ существенно влияют на У, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.

Так как коэффициент детерминации R² значим, то это свидетельствует о существенности связи между рассматриваемыми признаками.

Отсюда следует, что построенная модель эффективна.