ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

3.1 Анализ влияния величины шага на точность интегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвертого порядков

Плоды деятельности на ПЭВМ приводятся в приложении В. Результат упорного труда программы представлены в графическом виде (рисунок 1).

Рисунок 1 – Зависимость оценки e2 от шага интегрирования

Рисунок 2 – Зависимость оценки e4 от шага интегрирования

На рисунках изображены зависимости оценки погрешности интегрирования от величины шага интегрирования для обоих методов. Из него видно, что практические результаты соответствуют теоретическим положениям, но не совсем.

При шаге от 0.1 до 1 бесспорно влияние погрешности интегрирования как в методе второго, так и в методе четвертого порядков. Ошибка на данном интервале начинает лавинообразно возрастать, что связано с нарушением устойчивости алгоритма.

С дальнейшим уменьшением шага до 0.1 – 0.001 величина погрешности уменьшается за компанию, и наблюдается достаточно большая точность вычислений.

Дальнейшее уменьшение шага (менее 0.001) вызывает увеличение полной ошибки, а также скверное её поведение. Это связано с возрастанием влияния ошибки вычислений из-за увеличения количества вычислений, необходимых для получения решения. На фоне уменьшения алгоритмической погрешности решающую роль играет погрешность вычислений, которая представляет собой сумму всех ошибок округления при реализации данного метода на конкретной ПЭВМ.

Из двух методов 2-го и 4-го порядков при одинаковых значениях шага точнее метод четвертого порядка, но при уменьшении шага, точность методов постепенно выравнивается.

3.2 Проверка гипотезы Рунге

Согласно гипотезе, суммарная погрешность алгоритма при интегрировании ДУ с постоянным шагом пропорциональна величине шага в степени, равной порядку метода.

(1)

Результаты вычислений на ПЭВМ приводятся в приложении В. Результат работы программы наглядно представлены в графическом виде (рисунок 2).

Рисунок 3 – Зависимость отношения оценки погрешности к величине шага интегрирования в степени, равной порядку метода от шага интегрирования

Гипотеза Рунге экспериментально подтверждается только при таких значениях шага (1-0.01), где погрешность вычисления ПЭВМ влияет на результат в благоразумных пределах. При дальнейшем уменьшении шага пропорциональность скрывается из виду. Это можно истолковать тем, что предположение Рунге не учитывает влияния ошибки вычисления ПЭВМ на полученный результат.

3.3 Исследование поведение ошибки интегрирования как функции независимой переменной для обоих методов Рунге-Кутты при различных значениях шага

 

Для проведения своих изысканий нам необходимо выбрать 3 значения шага в начале, середине и конце диапазона изменения шага и построить графические зависимости решений от независимой переменной и погрешностей интегрирования от независимой переменной.

Результаты вычислений на ЭВМ приводятся в приложении В. Результат работы программы наглядно представлены в графическом виде (рисунок 3 и 4).

 

Рисунок 4 – График точного и приближенных решений (h=0.001, 0.1, 0.5) дифференциального уравнения

На рисунке 3 слегка, но все-таки заметны отклонения приближённых решений при разной величине шага от точного, что подтверждает высокую точность получаемого приближенного решения относительно точного.

Рисунок 5 – График зависимости величины ошибки интегрирования от независимой переменной при h=0.001, 0.1, 0.5

При шаге, численно равном 0.5 из рисунка 5 очевидно, что различия между погрешностями методов 2-ого (E⁵) и 4-ого (E⁶) порядков довольно значительны, что объясняется более высокой точностью метода 4-ого порядка.

Разница ошибок интегрирования для обоих методов при шаге интегрирования 0.1 остается достаточно высокой, но следует подметить, что точность метода Рунге-Кутты 4-ого порядка при данном значении шага выше, чем при меньшем h=0.001 (это обусловлено тем, что алгоритмическая ошибка стремится к нулю, а вычислительная ещё не показывает свой отвратительный характер).

При величине шага интегрирования h=0.001 ошибки интегрирования (E¹ и E²), равно как и при больших h возрастают с ростом независимой переменной, что слава Богу не противоречит теории, однако прослеживается скачкообразный характер графиков, что связано с внушительной лептой вычислительной ошибки в общую погрешность.