Навигация
Метод динамического программирования
24366
знаков
0
таблиц
0
изображений
2.4. Метод динамического программирования
2.4.1. Дискретная форма вариационной задачи
Преодоление рассмотренных трудностей решения вариационной задачи лежит на путях использования эффективных вычислительных методов, одним из которых является метод динамического программирования. Этот метод дает возможность находить оптимальное управление в многошаговых задачах. Однако он может применяться и для решения вариационных задач, если их представить в дискретной форме.
Воспользовавшись теоремой, сформулируем вариационную задачу в следующем виде: для объекта, описываемого дифференциальным уравнением, x(t)=g(x,u), x(0)=c, найти управление u(t) из области допустимых управления U, которое минимизирует функционал
J(u)=
, где Q(x,u)=Q1(x,u)+λH(x,u).
Дискретную форму записи этой задачи получим, если выбор управления u(t) будем производить только в дискретные моменты t=kδ, k=0,n-1, где δ=Т/n, При этом вместо функции x(t) и u(t) будем рассматривать последовательности
xk=x(t)|t=kδ , uk=u(t)|t=kδ .
Заменяя производную x=dx/dt на отношение приращений (xk+1-xk)/δ, вместо дифференциального уравнения получаем уравнение в конечных разностях:
g(xk,uk)
Обычно это уравнение записывают в более удобной форме, разрешая его относительно хk+1: xk+1=xk+ g(xk,uk) δ, k=0,n-1, x0=c.
При этом интеграл
J(u)=
заменится суммой
Jn(u)= 
,
где под u понимается последовательность используемых управлений u=(u0,…,un-1)
Теперь задача заключается в выборе таких управлений ui, которые обеспечивают минимальное значение суммы.
Во многих задачах управления оказывается целесообразным считать δ=1. В частности, это удобно делать в тех случаях, когда процесс естественным образом разбивается на отдельные шаги, причем в пределах каждого шага управление u(t) остается неизменным. При этом мы приходим к многошаговому процессу управления, рассмотренному ранее, в котором xk и uk означают состояние объекта и применяемое управление в начале каждого шага.
2.4.2.Рекуррентное соотношение метода динамического программирования
Оптимизация управления n-шагового процесса состоит в том, чтобы найти такую последовательность управлений ui, при которой критерий качества Jn(u) принимает минимальное значение. Это минимальное значение критерия качества управления n-шагового процесса будет зависеть только от начального состояния x0 и его можно обозначать fn(x0). По определению имеем:
fn(x0)=min min … min [Q(x0,u0)+ Q(x1,u1)+…+ Q(xn-1,un-1)].
Заметим, что первое слагаемое этого выражения Q(x0,u0) зависит только от управления u0, тогда как остальные слагаемые зависят как от u0, так и от управлений на других шагах. Так, Q(x1,u1) зависит от u1, но оно зависит и от u0, так как x1 =T(x0,u0). Аналогично обстоит дело и с остальными слагаемыми. Поэтому выражение можно записать в виде
fn(x0)=min {Q(x0,u0)+ min … min [Q(x1,u1)+…+ Q(xn-1,un-1)]}.
Заметим далее, что выражение min … min [Q(x1,u1)+…+ Q(xn-1,un-1)] представляет собой минимальное значение критерия качествa управления (n-1)-шагового процесса, имеющего начальное состояние х1. В соответствии с определением эту величину можем обозначить через fn-1(x1). Таким образом, получаем: fn(x0)=min {Q(x0,u0)+ fn-1(x1)}.
Эти рассуждения можно повторить, если рассмотреть (n-1)-шаговый процесс, начинающийся с начального состояния x1. Минимальное значение критерия качества управления для этого случая fn-1(x1)=min {Q(x1,u1)+ fn-2(x2)}.
Продолжая эти рассуждения, получаем аналогичное выражение для (n -k) -шагового процесса, начинающегося с состояния xk:
fn-k(xk)=min {Q(xk,uk)+ fn-(k+1)(xk+1)}.
Последнее уравнение, называемое часто уравнением Беллмана, представляет собой рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно определять оптимальное управление на каждом шаге управляемого процесса.
Сама идея оптимизации управления на каждом шаге отдельно, если трудно оптимизировать сразу весь процесс в целом, не является оригинальной и широко используется на практике. Однако при этом часто не принимают во внимание, что оптимизация каждого шага еще не означает оптимизацию всего процесса в целом.
Особенностью метода динамического программирования является то, что оно совмещает простоту решения задачи оптимизации управления на отдельном шаге с дальновидностью, заключающейся в учете самых отдаленных последствий этого шага.
В методе динамического программирования выбор управления на отдельном шаге производится не с точки зрения интересов данного шага, выражающихся в минимизации потерь на данном шаге, т.е. величины Q(xk,uk), а с точки зрения интересов всего процесса в целом, выражающихся в минимизации суммарных потерь Q(xk,uk)+ fn-(k+1)(xk+1) на всех последующих шагах. Отсюда следует основное свойство оптимального процесса, заключающееся в том, что каковы бы ни были начальное состояние и начальное управление, последующие управления должны быть оптимальными относительно состояния, являющегося результатом применения первого управления.
Из основного свойства оптимального управления следует, что оптимизация управления для произвольной стадии многошагового процесса заключается в выборе только последующих управлений. Поэтому бывает удобно учитывать не те шаги, которые уже были пройдены, а те, которые осталось проделать, для того чтобы привести процесс в конечное состояние.
2.5. Вариационная задача условной минимизации для условий в виде равенств
Рассматриваемая задача состоит в определении управляющих воздействий u(t) минимизирующих (или максимизирующих) показатель качества J.
Объект управления описывается уравнениями: x=q(x,u,t),
y=g(x,t).
Составляющие q, g предполагаются непрерывными по х и u и непрерывно дифференцируемыми по х. Объект управления предполагается управляемым и наблюдаемым, т.е. все переменные состояния доступны измерению и возбуждается любое из состояний управляемого объекта.
Если переменные функции не являются независимыми, а подчинены ограничениям типа равенств, т. е. f(x)=0, то необходимые условия экстремума определяются методом множителей Лагранжа.
Пусть целевая функция имеет вид:
J=
à min, при условиях x(t0)=x0 , x(tf)=xf , t 
[t0,tf], x(t)Rn,
при ограничениях fi(x(t),x(t),t)=0, i=1,m.
Задача решается методом множителей Лагранжа:
запишем лагранжиан
J=
+
λi(t)fi(x(t),x(t),t)] dt àmin по x(t), λ(t).
Запишем более в компактном виде:
J=
=
àmin по z(t), где z(t)=
.
Первым необходимым условием экстремума функционала J является δJ=0.
Производя рассуждения аналогичные вышеизложенным получаем уравнение:
=0, i=1,n+m.
Это уравнение называется уравнением Эйлера-Лагранжа.
Похожие работы
... среди математиков, его разделяли А.Н.Колмогоров, И.М.Гельфанд, В.И.Арнольд, С.П.Новиков и др. Нельзя не восхищаться естественностью и внутренней стройностью математической работ Л.В. по двойственности линейного программирования и их экономической интерпретацией. 2. О математической экономике как области математики и о некоторых ее связях А) Связи линейного программирования с функциональным и ...
... решения останется неизменным, т.е. будет состоять из переменных (Х3,Х6,Х4,Х5). СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.1. – Мн.: БГУИР, 1995. 2. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного ...
... переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств. Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи: · рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя; · оптимизации производственной программы ...
... от года-x и от номера месяца в году-y следующим образом: F(x)=50-x2+10x-y2+10y. Определите, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Билет № 22 1) Постановка вариационной задачи с ограничениями. Привести пример. 2) Дайте геометрическую ...
0 комментариев