Случайные процессы в статической динамике

Предмет:

«Статистическая динамика систем автоматического управления»

Тема:

«Случайные процессы в статической динамике»

1. Случайные процессы в системах автоматического управления

Реальные системы и процессы управления могут быть представлены двумя моделями: детерминированной и статистической (вероятностной).

В детерминированных моделях структура и параметры системы являются фиксированными или детерминированными, а сигналы и процессы управления описываются детерминированными функциями и являются полностью определенными.

В статистических моделях сигналы и процессы управления, а также структура и параметры системы являются случайными величинами и описываются случайными функциями времени.

Статистическая модель является более общей и полнее описывает реальные процессы, чем детерминированные.

Статистической динамикой систем управления называется раздел теории управления, который занимается изучением динамики процесса управления в статической схеме, т. е. при случайных сигналах и динамических свойствах системы.

Статистическая динамика изучает следующие задачи:

- статистическое описание случайных процессов и динамических свойств системы;

- статистический анализ систем управления - определение статистических характеристик выходных сигналов при заданных статистических характеристиках входных сигналов и статистических свойствах системы.

- статистический синтез оптимальных систем управления - отыскание и реализация оптимальных в определенном смысле свойств системы по заданным статистическим свойствам входных сигналов.

Статистическая динамика является разделом теории управления и базируется на теории вероятности и, в частности, на ее разделе теории случайных процессов.

1.1 Основные понятия теории вероятности

Рассмотрим случайные величины и их характеристики.

Случайное событие – это событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти (т.е. любой исход опыта).

Достоверное событие – это событие, которое в результате опыта произойдет непременно.

Невозможное событие – это событие, которое не может произойти в результате опыта.

Вероятность события - возможность появления, какого- либо события, из n –возможных событий.

Случайная величина - это численное значение случайного события.

Случайная функция – это функция, значение которой при каждом данном значении аргумента является случайной величиной.

Случайный процесс - случайная функция, аргументом которой является время.

Статистические свойства случайной величины X и случайного процесса X(t) полностью характеризуются функцией распределения вероятности F(x) (интегральным законом) или плотностью вероятности f(x) (дифференциальным законом).

1.2 Функция распределения

Функция распределения - вероятность события, которое заключается в том, что случайная величина Х примет значение меньше некоторой текущей переменной х, т.е.

F(x) = P(X<x). (1.1)

График функции распределения представлен на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Свойства функции распределения:

Функция распределения - возрастающая функция от 0 до 1

 (1.2)

Функция распределения – неубывающая функция

 если (1.3)

Для любых если , выполняется соотношение

(1.4)

 

1.3 Плотность вероятности

Плотность вероятности - вероятность попадания случайной величины в область x, x+Dx при Dx®0.

 (1.5)

График плотности вероятности показан на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Свойства плотности вероятности:

Плотность вероятности неотрицательная функция

 (1.6)

2. Площадь под кривой плотности вероятности равна единице

. (1.7)

3. Связь функции распределения с плотностью вероятности

.(1.8)

4. Вероятность попадания в область

 (1.9)

1.4 Законы распределения

Различные классы случайных событий подчинены различным законам распределения. На практике при исследовании случайных событий широко используются следующие законы распределения: нормальный, равномерный, показательный, биномиальный, Эрланга, Пуассона, Рэлея, и др.

Рассмотрим законы, наиболее часто используемые в статистической динамике систем управления.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Нормальный закон распределения это закон, наиболее часто встречающийся на практике при исследовании систем управления.

. (1.10)

Плотность вероятности и функция распределения для нормального

закона приведены на рис. 1.3а, б.

Рис.1.3. а) б)

Как видно из графика (рис. 1.3) и формулы (1.10), нормальный закон распределения случайной величины X зависит от двух параметров: математического ожидания mx и среднего квадратичного отклонения этой величины sx.

Закон равномерной плотности. Плотность вероятности и функция распределения для закона равномерной плотности приведены на рисунке 1.4.

(1.11)

Рис.1.4