Расчет частотных характеристик фильтра

3. Расчет частотных характеристик фильтра

 

Уравнение комплексной передаточной функции  может быть получено из уравнения операторной передаточной функции  при замене операторной переменной  на мнимую частоту :

=.

В свою очередь, после выделения действительных ,  и мнимых ,  составляющих числителя  и знаменателя  дробного выражения комплексной передаточной функции

==,

легко находятся уравнения АЧХ и ФЧХ цепи:

==;

==-;

= при ;

= при , ;

= при , ;

= при ;

= при , ;

= при , .

Уравнения АЧХ и ФЧХ фильтра получим из дробно-рационального выражения его операторной функции передачи:

=

Положив =, получим выражение для комплексной передаточной функции:

===

=

Определив модуль этого комплексного выражения, найдем уравнение АЧХ фильтра:

===

Для нахождения уравнения ФЧХ нужно найти аргумент функции :

===-.

Оставаясь действительным, полином числителя

=

при любой частоте не меняет свой знак. Поэтому =0 при любой (≥0).

У полинома знаменателя

=

действительная часть

=

при частоте ω>313538 рад\с меняет знак. В зависимости от знака действительной части аргумент комплексной функции будет определяться по разным формулам:

=

при 0≤<313538 рад/с (>0);

=

при ≥313538 рад/с (<0).

=

при =313538 рад/с

Таким образом, уравнение ФЧХ будет выглядеть следующим образом

=-

при 0≤<313538рад/с

=

при >313538рад/с

=

при =313538 рад/с

По полученным уравнениям (задавая с определенным шагом значения  и вычисляя соответствующие значения =2π) можно построить графики АЧХ  и ФЧХ  фильтра, а также диаграмму АФХ. Для построения амплитудно–фазовой характеристики (АФХ или частотного годографа) целесообразно воспользоваться не показательной формой комплексного параметра K_U(jf)=K(ω)ехр(jφ(f)), а алгебраической К_U(jf)=A(f)+jB(f)=K(f)cosφ(f) + j K(f)sinφ(f).

По графику определим частоту среза  полосу пропускания , крутизну спада амплитудно-частотной характеристики :

  Дб/дек Дб/дек

_н=39300 Гц

_н=63300Гц

→63300-39300=24000Гц

Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном диапазоне частот, в котором проявляются основные частотные свойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно определить по полюсно-нулевой карте операторной функции.

В качестве нижней граничной частоты f_н можно принять значение, близкое к величине

 

где S_min – расстояние от начала координат до ближайшей особой точки (нуля или полюса)

Это расстояние определяется как модуль особой точки: S =p₀или S=p_*.

За верхнюю граничную частоту f_в можно взять значение

где S_max – расстояние от начала координат до самой удаленной особой точки. Рассчитаем граничные частоты для нашего примера.

p₀=0 рад/c,  

Следовательно, S_min=p₀, S_max=p_*,