Навигация
Алгебра комплексных чисел
9299
знаков
1
таблица
4
изображения
3. Алгебра комплексных чисел
Комплексным числом называют пару чисел, изображающих вектор на комплексной плоскости. Будем изображать комплексное число заглавной буквой с чертой внизу (
). Вводится мнимая единица: 
Комплексное число может быть представлено в разных формах:
– показательная форма: 
- это вектор на комплексной плоскости, где
- длина (модуль) вектора, 
- аргумент или фаза. Фазу всегда отсчитывают против часовой стрелки от положительного направления вещественной оси;
– алгебраическая форма: 
– это точка на комплексной плоскости, где 
- координаты по вещественной и мнимой осям, причем:
, 
,
, если 
,
=
, если 
<
.
Переход от одной формы записи комплексного числа к другой:
.
Складывать комплексные числа предпочтительно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма: 
Вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма (вектор разности направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого): 
Умножать и делить комплексные числа удобнее в показательной форме:
; 
.
Комплексные числа, не зависящие от времени, обозначают заглавными буквами с чертой внизу: 
, а комплексно сопряженные им числа обозначают еще и звездочкой сверху
: это числа, у которых та же вещественная часть, а мнимая с обратным знаком.
Комплексные числа, которые являются функциями времени, обозначают заглавными буквами с точкой сверху: 
, а комплексно сопряженные им числа обозначают заглавными буквами со звездочкой сверху 
: это числа, у которых тот же модуль, но фаза с обратным знаком.
Так как 
, то умножить комплексное число на j это значит, не изменяя его модуля, увеличить фазу на 900 или повернуть соответствующий вектор на 900 против часовой стрелки. Разделить на j - наоборот:
.
4. Символический метод
Пусть есть комплексное число с линейно изменяющимся во времени аргументом: 
. На комплексной плоскости это число представляет неизменный по длине вектор, вращающийся против часовой стрелки с постоянной скоростью w.
Любую синусоидальную функцию времени можно представить в виде проекции на вещественную или мнимую ось соответствующего вращающегося вектора.
Проекция вектора на мнимую ось дает синусоидально изменяющуюся функцию времени:
Вводят специальное обозначение (символы):
- комплекс амплитудного значения тока или
- комплекс амплитудного значения напряжения. Они содержат информацию об амплитуде и начальной фазе синусоидального колебания.
Комплекс амплитудного значения деленный на
, дает комплекс действующего значения:
и 
.
Комплекс амплитудного или комплекс действующего значения позволяют перейти к мгновенному значению, например:
;
.
5. Законы цепей в символической форме
1. Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.
.
Подставим вместо каждого мгновенного значения тока его представление в виде комплекса амплитудного значения, тогда 
.
Так как в любой момент времени нулю равна сумма проекций вращающихся векторов, следовательно, нулю должна равняться сумма самих вращающихся векторов, т.е. получим 
. Так как 
, то сократим на нее и получим 
.
Алгебраическая сумма комплексов амплитудных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.
Поделив на , получим первый закон Кирхгофа для комплексов действующих значений.
2. Второй закон Кирхгофа
После аналогичных преобразований получим:
или 
.
Алгебраическая сумма комплексов амплитудных (действующих) значений напряжений на всех элементах контура, кроме ЭДС равна алгебраической сумме комплексов амплитудных (действующих) значений ЭДС этого же контура.
Однако для самих амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа не выполняются.
Список литературы
1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.
2. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)
3. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В.Н. Зуб, С.М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с.
4. Теоретические основы электротехники. / Г.И. Атабеков, С.Д. Купалян, А.В. Тимофеев, С.С. Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.
5. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.
Похожие работы
... можно строить схемы замещения реальных элементов цепи. 3. Топологические элементы схем Кроме рассмотренных элементов существуют топологические элементы, которые позволяют описать структуру цепи. Основные понятия: 1) Ветвь – соответствует участку цепи, в котором все элементы стоят последовательно, т.е. по которому протекает один и тот же ток. 2) Узел – место соединения трех и более ветвей ...
... любой из ветвей выбранного сечения приводит к связному графу. Отмеченные выше понятия и положения будут использованы в дальнейшем при расчете электрических цепей по методам, вытекающим из законов Кирхгофа. Теорема замещения В теории электрических цепей как при доказательствах ряда ее положений, так и при численных расчетах используется теорема замещения: значения всех напряжений и токов в ...
... соотношений и решает задачу вычисления реакции линейной электрической цепи на заданное непрерывное воздействие по известной переходной характеристики цепи . Эти соотношения называют интегралами Дюамеля. 3. Импульсные характеристики электрических цепей Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных ...
... Токи и находим по правилу деления тока : ; Напряжения на резисторах по известным токам в них вычисляются по закону Ома. Расчет резистивных электрических цепей методом токов ветвей Расчет сложных резистивных цепей, т. е. цепей, не сводящихся к последовательному или параллельному соединению элементов, основывается на использовании законов Кирхгофа. Если цепь имеет элементов, то ...
0 комментариев