Применение спектрального метода для решения обратных задач динами

3. Применение спектрального метода для решения обратных задач динами

Рассмотрим решение спектральным методом обратной задачи динамики в следующей постановке.

Известна система автоматического управления (регулирования), которая может быть как стационарной, так и нестационарной, и работа которой описывается следующим дифференциальным уравнением:

 (2.1)

где

 - сигнал на выходе системы;

 - сигнал на входе системы;

 - коэффициенты дифференциального уравнения, являющиеся функциями времени.

При этом неизвестны некоторые параметры настройки системы управления, которые необходимо определить в процессе решения задачи. Обозначим множество этих параметров через  где  - их число. Тогда коэффициенты дифференциального уравнения будут зависеть от  и, следовательно можно записать;

 (2.2)

Задан эталонный сигнал на интервале  или его спектральная характеристика, который необходимо получить на выходе системы (2.2). В общем случае могут быть заданы ненулевые начальные условия:

 (2.3)

Для заданных дифференциального уравнения (2.2), эталонного выходного сигнала  и начальных условий (2.3) необходимо определить входной сигнал  и искомые сигнала на выходе получили бы сигнал, максимально параметры настройки  такими, что при подачи на вход системы автоматического управления найденного входного в известном смысле приближенный к эталонному.

В качестве меры близости реального сигнала на выходе системы (2.2), (2.3) к эталонному сигналу  на интервале  примем следующий функционал

(2.4)

Неизвестный входной сигнал будем искать в форме его спектрального разложения в ряд по некоторому базису ортонормированных функций ;

где коэффициенты , неизвестны и их необходимо определить.

Следовательно входной сигнал будет зависеть от времени  и от множества параметров  Тогда дифференциальное уравнение (2.2) можно записать в следующей виде

 (2.5)

Интегрируя уравнение  раз с учетом начальных условий, получим

 (2.6)

Воспользовавшись справедливым для любой непрерывной функции тождеством

равенство (2.6) можно переписать в виде

 (2.7)

Интегрируя полученное равенство (2.7) по частям и применяя формулы

получим

 (2.8)

где

Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования :

 (2.9)

где

Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция  в выражении (2.9) представляет собой полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий (2.3) и от множества  искомых параметров настройки системы автоматического управления (регулирования). Перепишем , изменив порядок суммирования

Введем следующие обозначения:

Тогда полином  можно записать следующим образом

где - вектор-столбец начальных условий; - вектор-столбец полиномов .

Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису .

Имеем

, (2.10)

где  - спектральная характеристика выходного сигнала , элементы которой определяются из соотношения

 (2.11)

где  - квадратная матрица размерностью , элементы которой определяются из выражения

Подставив полученные разложения (2.10) и (2.11) в левую часть уравнения (2.9) и учитывая, что , где - единичная, в силу ортонормированности базисных функций, получим

 (2.12)

где  - матрица спектральной характеристики инерционной части системы размерностью .

Сделаем аналогичные преобразования для правой части уравнения (2.9).

, (2.13)

где  - спектральная характеристика сигнала на входе системы, элементы которой определяются из соотношения

 (2.14)

где  - квадратная матрица размерностью  спектральной характеристики форсирующей части системы, элементы которой определяются из выражения

 (2.15)

где  - матрица размерностью  элементы которой определяются из соотношения

Подставляя разложения (2.13), (2.14) и (2.15) в (2.9) и делая соответствующие преобразования, получим

 

 (2.16)

Таким образом, уравнение (2.9) с учетом (2.12) и (2.16) можно переписать в следующем виде

 (2.17)

Рассмотрим теперь функционал (2.4). Имеем

Так как , то последние выражение можно записать в следующем виде

 (2.18)

или

где

. (2.19)

Здесь спектральная характеристика эталонного сигнала  или задана или, в случае задании эталонного сигнала , определяется из выражения

, .

Таким образом, задача определения входного сигнала  (точнее множества ) и множества  неизвестных параметров настройки системы управления (2.2), (2.3) сводиться к задаче безусловной минимизации функционала (2.18) по элементам множеств  и , т.е.

.

На рисунке 2.1 представлена структурная схема алгоритма решения поставленной задачи.

Рис 2.1 Структурная схема алгоритма решения обратной задачи динамики спектральным методом