ОСЕРЕДКИ БЕНАРА

3.1 ОСЕРЕДКИ БЕНАРА

Для того, щоб експериментально вивчити структури, досить мати сковороду, трохи масла і якою ні будь дрібний порошок, щоб було помітно рух рідини . Наллємо в сковороду масло з розмішаним в нім порошком і підігріватимемо її знизу (мал. 3.1)

Мал. 3.1. Конвективні осередки Бенара

Якщо дно сковороди плоске і нагріваємо ми її рівномірно, то можна вважати, що у дна і на поверхні підтримуються постійні температури, знизу - Т1, зверху - Т2 . Поки різниця температури DТ = Т1 - Т2 невелика, частинки порошку нерухомі, а отже, нерухома і рідина .

Плавно збільшуватимемо температуру Т1. Із зростанням різниці температур до значення DТc спостерігається все та ж картина, але коли DТ > DТc, все середовище розбивається на правильні шестигранні осередки (див. Мал. 3.1) в центрі кожної з яких рідина рухається вгору, по кроях вниз . Якщо узяти іншу сковороду, то можна переконатися, що величина виникаючих осередків практично не залежить від її форми і розмірів . Цей чудовий досвід вперше був виконаний Бенаром на початку нашого століття, а самі осередки отримали назву осередків Бенара.

Елементарне якісне пояснення причини руху рідини полягає в наступному . Із-за теплового розширення рідина розшаровується, і в більш нижньому шарі щільність рідини r₁ менше, ніж у верхньому _r2 . Виникає інверсний градієнт щільності, направлений протилежно силі тяжіння . Якщо виділити елементарний об'єм V, який трохи зміщується вгору в наслідку обурення, то в сусідньому шарі архімедова сила стане більше сили тяжіння, оскільки _r2 > r₁ . У верхній частині малий об'єм, зміщуючись вниз, потрапляє в область зниженої щільності, і архімедова сила буде менше сили тяжіння FA < FT, виникає низхідний рух рідини. Напрям руху низхідного і висхідного потоків в даному осередку випадково, рух же потоків в сусідніх осередках, після вибору напрямів в даному осередку детерміновано. Повний потік ентропії через межі системи негативний, тобто система віддає ентропію, причому в стаціонарному стані віддає стільки, скільки ентропії проводиться усередині системи (за рахунок втрат на тертя).

dSe q q T1 - T2

¾ = ¾ - = q * ¾¾¾ < 0 (3.1)*¾¾¾

dt T2 T1 T1 * T2

Освіта саме стільникової комірчастої структури пояснюється мінімальними витратами енергії в системі на створення саме такої форми просторової структури . При цьому в центральній частині осередку рідина рухається вгору, а на її периферії - вниз.

Подальше надкритичне нагрівання рідини приводить до руйнування просторової структури - виникає хаотичний турбулентний режим.

Мал. 3.2. Ілюстрація виникнення теплової

конвекції в рідині .

3.2 ЛАЗЕР, ЯК СИСТЕМА, ЩО САМООРГАНИЗУЄТЬСЯ

У другому розділі це питання ми вже розглядали . Тут же, розглянемо просту модель лазера.

Лазер - це пристрій, в якому в процесі випромінювання, що стимулює, породжуються фотони.

Зміна з часом числа фотонів n, або іншими словами, швидкість породження фотонів, визначається рівнянням вигляду :

dn / dt = «Приріст» - «Втрати» (3.2)

Приріст обумовлений так званим що стимулює випромінюванням . Він пропорційний числу вже наявних фотонів і числу збуджених атомів N . Таким чином :

Приріст = G N n (3.3)

Тут G - коефіцієнт посилення, який може бути отриманий з мікроскопічної теорії . Член, що описує втрати, обумовлений відходом фотонів через торці лазера . Єдине допущення, яке ми приймаємо, - це те, що швидкість відходу пропорційна числу наявних фотонів. Отже

Втрати = 2nc (3.4)c

2c = 1/ t0, де t0 - час життя фотона в лазері .

Тепер слід врахувати одну важливу обставину, яка робить (2.1) нелінійним рівнянням вигляду :

 (3.5)

Число збуджених атомів зменшується за рахунок випускання фотонів . Це зменшення DN пропорційно числу наявних в лазері фотонів, оскільки ці фотони постійно примушують атоми повертатися в основний стан .

DN = an (3.6)a

Таким чином, число збуджених атомів рівне

N = N0 - DN (3.7)D

де N0 - число збуджених атомів, підтримуване зовнішньою

накачуванням, у відсутності лазерної генерації.

Підставляючи (3.3) - (3.7) в (3.2), отримуємо основне рівняння наший спрощеній лазерній моделі :

 (3.8)

де постійна до дає вираз :

k1 = aG

до = 2 c- GN0 >< 0 (3.9)

Якщо число збуджених атомів N0 (створюваних накачуванням) невелике, то до позитивно, тоді як при достатньо великих N0 до - може стати негативним . Зміна знаку відбувається коли

GN0 = 2c (3.10)c

Ця умова є умова порогу лазерної генерації .

З теорії біфуркації виходить, що при до > 0 лазерної генерації немає, тоді як при до < 0 лазер випускає фотони.

Нижче або вище за поріг лазер працює в здійснено різних режимах .

Вирішимо рівняння (3.8) і проаналізуємо його аналітично :

- це рівняння одномодового лазера .

Запишемо рівняння (3.8) в наступному вигляді :

Розділимо початкове рівняння на n2 .

і введемо нову функцію Z :

1/n = n-1 = Z Þ Z1 = - n-2 отже рівняння прийме вигляд :

перепишемо його в наступному вигляді :

розділимо обидві частини даного рівняння на -1, отримаємо

 (3.11)

Рівняння (3.11) - це рівняння Бернуллі, тому зробимо наступну заміну

Z = UV×, де U і V невідомі поки функції n, тоді Z1 = U1 V + U V1 .

Рівняння (3.11), після заміни змінних, приймає вигляд

U1 V + UV1 - до UV = k1

перетворимо, отримаємо

U1 V + U(V1 - до V)= k1 (3.12)

Вирішимо рівняння (3.12)

V1 - до V = 0 ® dV/dt = до V

зробимо розділення змінних

dV/V =k dt ® ln V = до t

результат V = ekt (3.13)

Звідси ми можемо рівняння (3.12) переписати у вигляді :

U1 ekt= k1- це те ж саме, що dU/dt = k1e-kt, dU = k1e ^-ktdt виразимо звідси U, отримаємо

 (3.14)

По рівнянню Бернуллі ми робили заміну Z = U V підставляючи рівняння (3.13) і (3.14) в цю заміну, отримаємо

Раніше вводили функцію Z = n-1, отже

 (3.15)

Початкова умова n0=1/(c-k1/k), з цієї умови ми можемо визначити константу з наступним чином

Підставляючи, знайдену нами константу в рівняння (3.15), отримаємо

 (3.16)

Досліджуємо функцію (3.16) при до = 0, до < 0, до > 0 .

При k0 ®; ekt ® 0 ; (ekt - 1)®0, тобто (ekt - 1)×k1/k0®×¥ (невизначеність), розкриємо цю невизначеність за правилом Лопіталя . Цю невизначеність вигляду 0¥ слід привести до вигляду  . При цьому, як і завжди при застосуванні правила Лопіталя, по ходу обчислень рекомендується спрощувати вирази, що вийшли, таким чином :

n(k)_{при k0®}® 0, отже

Перепишемо (3.16) в наступному вигляді

Лінеарізуєм нелінійне рівняння, отримаємо

ln n = - kt + з Þ

Побудуємо графік для цих умов

Мал. 3.3 До самоорганізації в одномодовому лазері :

крива 1 : до < 0, режим лазерної генерації

крива 2 : до = 0, точка біфуркації, поріг

крива 3 : до > 0, режим лампи.

При до = 0 рівняння (3.8) прийме вигляд

вирішуючи його, отримаємо

 (3.8)

За умови ; n(t)= const, функція (3.8) наближається до стаціонарного стану, не залежно від початкового значення n0, але залежно від знаків до і k1 (дивися малюнок 3.3).

Таким чином, функція (3.8) ухвалює стаціонарне рішення