Электродинамические усилия в электрических аппаратах

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

Содержание

1. Основные понятия.............................................................................. 2

Возникновение электродинамических сил........................................................ 2

Направление действия силы.............................................................................. 3

2. Методы расчета электродинамических сил...................................... 4

Первый метод..................................................................................................... 4

Второй метод..................................................................................................... 6

3. Электродинамические силы между параллельными проводниками 8

Бесконечной длины............................................................................................ 8

Конечной длины................................................................................................ 9

Неравной длины.............................................................................................. 10

4. Электродинамические силы между взаимно перпендикулярными проводниками....................................................................................... 15

5. Электродинамические силы в кольцевом витке и между кольцевыми витками............................................................................ 17

Для одного витка............................................................................................. 17

Для нескольких витков.................................................................................... 18

6. Электродинамические силы в проводниках переменного сечения 20

7. Силы взаимодействия между проводником с током и ферромагнитной массой....................................................................... 21

Вблизи ферромагнитной массы...................................................................... 21

Внутри ферромагнитной массы...................................................................... 22

8. Электродинамические силы при переменном токе......................... 24

При однофазном токе...................................................................................... 24

При расположении проводников в одной плоскости.................................... 26

При расположении проводников правильным треугольником.................... 28

1. Основные понятия

 

Действие электродинамических сил на аппараты

При нормальных эксплуатационных условиях электродинамические силы, как правило, малы и не вызывают каких-либо деформаций, а тем более поломок деталей в аппаратах. Однако при коротких замыканиях эти силы достигают весьма больших значений и могут вызвать деформацию или разрушение не только отдельных деталей, но и всего аппарата. Это обстоятельство требует проведения расчета аппарата (или отдельных его узлов) на электродинамическую устойчивость, т.е. на способность выдержать без повреждений прохождение наибольшего возможного в эксплуатационных условиях (или заданного) тока короткого замыкания. Такой расчет тем более необходим ввиду того, что с целью получения минимальных габаритов в аппаратах стремятся располагать токоведущие части как можно ближе друг к другу.

Так как переменный ток при отсутствии апериодической составляющей отличается от постоянного изменением силы тока и направлением изменяющихся по синусоидальному закону, то и электродинамическая сила будет иметь переменное значение.

Для упрощения рассмотрим электродинамические силы, возникающие в различных частях электрического аппарата при постоянном токе. Далее, оценим их влияние на электрический аппарат в различных ситуациях при трехфазном переменном токе.

Возникновение электродинамических сил

Обтекаемый током i прямолинейный проводник длиной l (рис. 1), расположенный в магнитном поле с индукцией В, испытывает механическую силу

(1)

где β- угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

Рис. 1.

Для системы из нескольких обтекаемых током проводников можно всегда представить, что любой из этих проводников расположен в магнитном поле, созданном токами других проводников, и соответствующим образом взаимодействует с этим полем, т. е. между проводниками, охваченными общим магнитным потоком, всегда возникают механические силы. Эти силы называются электродинамическими.

Аналогичные силы возникают между проводником, обтекаемым током, и ферромагнитной массой.

Направление действия силы

Направление действия силы определяется «правилом левой руки».

Направление действия силы может быть также определено из следующего общего положения: силы, действующие в контуре с током, стремятся изменить конфигурацию контура так, чтобы охватываемый контуром магнитный поток увеличился.

Удобным для определения направления действия электродинамической силы является метод, предложенный академиком В.Ф. Миткевичем, основанный на представлении бокового распора и тяжения магнитных линий.

Рисуют и накладывают друг на друга картины магнитных полей, создаваемых током каждого из проводников. Благодаря боковому распору магнитных силовых линий сила, действующая на проводник, направлена в сторону, где поле ослаблено (рис. 2).

2. Методы расчета электродинамических сил

Расчет электродинамических сил ведется обычно либо на основании закона взаимодействия проводника с током и магнитным полем (первый метод), либо по изменению запаса магнитной энергии системы (второй метод).

Первый метод

Расчет электродинамических сил на основании закона взаимодействия проводника с током и магнитным полем. Возьмем систему из двух произвольно расположенных проводников 1 и 2 (рис. 3), обтекаемых токами i₁ и i₂.Напряженность магнитного поля, создаваемого элементом dy проводника 2 в месте расположения элемента dx проводника 1, будет

(2)

где α — угол между вектором ρ и направлением тока по элементу dy.

Весь проводник 2 создает в месте расположения элемента dx напряженность магнитного поля

(3)

Элементарная сила, действующая на элемент dx, обтекаемый током i₁

(4)

где ρ — угол между вектором магнитной индукции В = μ₀H_dx и вектором тока i₁;

μ₀^— магнитная проницаемость воздуха.

Полную силу F взаимодействия между проводниками 1 и 2 получим после интегрирования dF_dx по всей длине проводника 1:

(5)

Считая токи i₁ и i₂ неизменными по всей длине проводника, уравнение (5) можно переписать в виде произведения членов:

(6)

Первый член этого выражения зависит только от значений токов. Второй член зависит только от взаимного геометрического расположения проводников и представляет собой безразмерную величину. Эту величину часто называют коэффициентом контура, который обозначим буквой с. Тогда

(7)

т.е. сила взаимодействия между двумя проводниками, обтекаемыми токами i₁ и i₂, пропорциональна произведению этих токов (квадрату тока при i₁ = i₂) и зависит от геометрии проводников.

Подставив в уравнение (7) значение μ₀ = 4π10^-7 и вычисляя силу в ньютонах, получим

(8)

Второй метод

Расчет электродинамических сил по изменению запаса электромагнитной энергии контуров. Электромагнитное поле вокруг проводников и контуров с током обладает определенным запасом энергии. Электромагнитная энергия контура, обтекаемого током i,

(9)

Электромагнитная энергия двух контуров, обтекаемых токами i₁ и i₂,

(10)

где L₁,L₂ — индуктивности контуров; М — взаимная индуктивность контуров.

Всякая деформация контура (изменение расположения отдельных его элементов или частей) или изменение взаиморасположения контуров приводят к изменению запаса электромагнитной энергии. При этом работа сил в любой системе равна изменению запаса энергии этой системы:

(11)

здесь dW — изменение запаса энергии системы при деформации системы в направлении х под действием силы F.

На указанном законе (11) и основан второй метод определения электродинамических сил в контурах. Электродинамическая сила в контуре или между контурами, действующая в направлении х, равна скорости изменения запаса энергии системы при деформации ее в том же направлении:

(12)

Согласно сказанному электродинамическая сила в контуре, обтекаемом током i,

(13)

а электродинамическая сила между двумя взаимосвязанными контурами с токами i₁ и i₂ будет

(14)

3. Электродинамические силы между параллельными проводниками Бесконечной длины

Возьмем два параллельных круглых проводника 1 и 2 (рис. 4), расположенных в одной плоскости на расстоянии друг от друга и обтекаемых токами i₁ и i₂. Расчет будем производить первым методом. Проделав все операции аналогично выражениям (2) — (8) и учитывая, что sin β = 1, так как проводники расположены в одной плоскости, и вектор индукции в данном случае перпендикулярен этой плоскости (β=90°), получим

, (15)

где

Выразим подынтегральные переменные второго интеграла через одну из переменных, а именно через угол α. Примем за начало координат элемент dy и направление токов, совпадающее с положительным направлением координат. В этом случае текущая координата

(16)

Подставив полученные выражения в уравнение (15) и считая, что проводник 2 распространяется от — ∞ до + ∞, чему соответствует изменение угла α от π до 0, получим

(17)

Очевидно, если проводник 1 (l₁), так же как и проводник 2, распространяется до ±∞, то с будет стремиться к бесконечности.

Конечной длины

Если проводник 1 имеет конечную длину, то

(18)

Согласно выражению (8) сила, действующая на проводник 1, равна

(19)

Уравнение (19) определяет силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых бесконечно длинен, а второй имеет конечную длину l и расположен симметрично относительно первого. В случае, когда оба проводника будут иметь конечную длину l, пределы интегрирования для выражения (17) будут уже не от π до 0, а от α ₂ до α ₁ (см. штриховые линии на рис. 4) и сила взаимодействия между двумя круглыми проводниками конечной и равной длины определится уравнением

. (20)

В уравнении (20) множитель перед скобками представляет собой силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых имеет бесконечную длину. Обозначим эту силу через F_∞. Коэффициент, заключенный в скобках, представляет собой величину, меньшую единицы. При α/1<0,2 (в практике, как правило, α/1<< 0,2) величиной (α/l)² по отношению к единице можно пренебречь. Тогда уравнение (20) примет вид (21)

(21)

Неравной длины

В практике весьма часто проводники имеют неравную длину. Силу взаимодействия между такими проводниками можно найти изложенным выше способом, производя интегрирование каждый раз в соответствующих пределах. Можно эту задачу решить, применив уравнение (20).

На рис. 5 приведены два проводника неравной длины l₁ и l₂, расположенные друг от друга на расстоянии а и обтекаемые токами i₁ и i₂. Нарастим проводник l₂ на отрезок l₃ до длины, равной l₁. Проводник l₁ можем также представить состоящим из двух отрезков l₂ и l₃. Тогда можем написать, что сила взаимодействия между проводниками длиной l₁ и l₂ (F l₁ l₂) равна сумме сил взаимодействия между двумя проводниками l₂ одинаковой длины (F l₂ l₂) и двумя проводниками длиной l₂ и l₃ (F l₂ l₃):

(22)

Аналогично можно написать

(23)

Сложив уравнения (22) и (23), получим

(24)

Таким образом, сила взаимодействия между двумя проводниками неравной длины выражается через силу взаимодействия проводников равной длины:

(25)

При этом l₁ и l₂ — величины заданные, а l₃= l₁ - l₂.

Сила взаимодействия между круглыми параллельными проводниками может быть также определена по изменению запаса электромагнитной энергии.

Первый случай — оба проводника принадлежат к одной системе. Индуктивность системы из двух параллельных проводников радиусом r и длиной l, находящихся на расстоянии а, при условии, что l >> а, определяется формулой

(26)

Нас интересует сила, действующая в направлении а. Согласно выражению (13)

(27)

из уравнения (26)

тогда

(28)

Из выражения (28) видно, что результат получился таким же, как и при определении этих сил, первым методом.

Второй случай — проводники принадлежат к двум различным системам, при этом сами системы не претерпевают деформации. Взаимная индуктивность между двумя проводниками длиной l, находящимися друг от друга на расстоянии а, при условии, что l >> а, определяется формулой

(29)

Согласно формуле (13) сила, действующая в направлении а,

где

так как сами системы не претерпевают деформации, а из выражения (29)

Тогда

(30)

т.е. результат, как и следовало, получился тот же.

Для двух параллельных проводников, расположенных с любым сдвигом, Г.Б. Холявский получил удобную для расчета коэффициента контура формулу, основанную на геометрической интерпретации приведенных выше уравнений.

Величина  представляет собой длину диагонали D (рис. 6) прямоугольника со сторонами l и а; следовательно, согласно уравнению  (20) для проводников равной длины

(31a)

а согласно уравнению (25) для проводников неравной длины (рис. 7)

(31б)

т.е. коэффициент контура равен разности суммарных диагоналей и боковых сторон четырехугольника (прямоугольник, трапеция, параллелограмм), построенного на данных отрезках проводников, деленной на его высоту.

Для проводников прямоугольного сечения (шин) следует вводить поправочный коэффициент — коэффициент формы k_ф, зависящий от размеров проводников и расстояний между ними:

(32)