Навигация
2. Уравнение Бернулли
В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относительно друга возникают силы внутреннего трения, тормозящие относительное смещение слоев. Воображаемая жидкость, у которой внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не сопровождается диссипацией энергии (см. предпоследний абзац § 24).
Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, ограниченный стенками узкой трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1 и S2 (рис. 40.1), За время А/ этот объем сместится вдоль трубки тока, причем граница объема S1 получит перемещение Δl2 , а граница S2 — перемещение Δl2. Работа, совершаемая при этом силами давления, раина приращению полной энергии (Ek + Ep), заключенной в рассматриваемом объеме жидкости.
Силы давления на стенки трубки тока перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2. Эта работа равна (см. рис. 40.1).
Полная энергия рассматриваемого объема жидкости слагается из кинетической энергии и потенциалальной энергии в поле сил земного тяготения. Вследствие стационарности течения полная энергия той части жидкости, которая ограничена сечениями 1’ и 2 (внутренняя незаштрихованная часть трубки тока на рис. 40.1), за время Δt не изменяется. Поэтому приращение полной энергии равно разности значений полной энергии заштрихованных объемов ΔV2 и ΔV1, масса которых Δm = рΔV (р — плотность жидкости).
Возьмем сечение S трубки тока и перемещения Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости v , давления p, и высоты h. Тогда дли приращения полной энергии получается выражение
Приравняв выражения (40.1) и (40.2), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в' одну часть равенства, придем к уравнению
Это уравнение становится вполне строгим лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линию. Следовательно, величины и, h и р в обеих частях равенства нужно рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.
При выводе формулы (40.3) сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в стационарно текущей несжимаемой и идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие
Уравнение (40.3) или равнозначное ему уравнение (40.4) называется уравнением Бернулли. Хотя это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно хорошо выполняется для реальных жидкостей, у которых внутреннее трение невелико.
3. Истечение жидкости из отверстия
Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой
жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде (рис. 41.1). Выделим мысленно в жидкости трубку тока, сечениями которой являются
открытая поверхность жидкости S1 и сечение струи при выходе из отверстия S2 (если не принять специальных мер, то сечение струи будет меньше отверстия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жидкости v и высоту h над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям
можно применить теорему Бернулли. Давления р1 и р2 в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Скоростью v1 перемещения открытой поверхности жидкости ввиду ее малости можно пренебречь. Поэтому уравнение (40.3) в данном случае упрощается следующим образом:
Рис.41.1.
где v — скорость жидкости в сечении S2 (скорость истечения из отверстия). Сократив на р, можно написать, что где h = h1 — h2 — высота открытой поверхности над отверстием.
Формула (41.1) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине h под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.
Похожие работы
... состояние равновесия – на поверхность тела действует сила давления жидкости, которая уравновешивает вес жидкости внутри поверхности. Движение жидкостей и газов. Движение жидкостей и газов, как и все другие виды движения, рассматриваемые в механике, можно полностью охарактеризовать, оперируя единицами измерения длины, времени и силы. Так, диаметр парашюта можно измерять в метрах, время ...
... ,1995, 233с. А р у ш а н о в М. Л. Моделирование формирования фигуры Земли и некоторых геофизических полей на основе положений причинной механики. Узбекский журнал Проблемы Информатики и Энергетики, 2000. N1, с. 58-64. А р у ш а н о в М. Л. Г о р я ч е в А. М. О необходимости учета эффектов причинной механики в гидродинамических моделях прогноза и климата. ДАН РУз, 2002, N6, c. 38-40. Б е л о в ...
... -кольцевом режиме. Они обладают рядом дополнительных преимуществ: в этих аппаратах возможна совместная очистка от газообразных и дисперсных включений, достаточно просто обеспечивается оптимальная температура в зоне контакта фаз, они устойчиво работают в широких диапазонах нагрузок по газу и жидкости, имеют малые габариты и сравнительно простое конструктивное оформление, обеспечивают большое время ...
... одним из основоположников статистической физики и физической кинетики австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году и носящее его имя. §1 Функция распределения. Для вывода кинетического уравнения Больцмана рассмотрим одноатомный идеальный газ, т.е. достаточно разряженный газ, состоящий из электрически нейтральных атомов или молекул. Единственным видом взаимодействия между частицами ...
0 комментариев