Аналитическое продолжение на уровень Н аномалий в области верхнего или нижнего полупространства

1. Аналитическое продолжение на уровень Н аномалий в области верхнего или нижнего полупространства

Как известно, в этом случае

Ф(u,v) = ехр(±ρH),

где знак "минус" относится к аналитическому продолжению в области верхнего полупространства, знак "плюс" - в области нижнего. Тогда

|Ф(u,v)|2 = ехр(±2ρH).

Отсюда видно, что для получения корреляционной функции, аналитически продолженной на уровень Н в области верхнего или нижнего полупространства аномалии, необходимо корреляционную функцию исходной аналитически продолжить на уровень 2Н. На основании этого положения для корреляционных функций можно записать интеграл Пуассона, заменив в нем значение Н на значение 2Н.

2. Вычисление n-й горизонтальной производной

В этом случае (рассматриваем произвольную по оси x)

Ф(u,v) = (iu)ⁿ. (3.82)

Следовательно,

|Ф(u,v)|² = u²ⁿ = (-1)ⁿ(iu)²ⁿ. (3.83)

Аналогичный результат получим и при дифференцировании по направлению оси у. Из последних двух равенств видно, что для получения корреляционной функции аномалии n-й горизонтальной производной необходимо продифференцировать корреляционную функцию исходной аномалии по направлению соответствующей оси 2n раз и умножить полученный результат на (-1)ⁿ. Например, для оси x верно равенство

 (3.84)

где B(ξ, η) и B_n(ξ, η) - автокорреляционные функции исходной аномалии и аномалии n-й производной по направлению оси х.

3. Вычисление n-й вертикальной производной

Так как для данного случая

Ф(ρ) = (-ρ)ⁿ, (3.85)

то

|Ф(ρ)|² = (-ρ)²ⁿ. (3.86)

Отсюда видно, что вывод такой же, как и в предыдущем случае, только результат не нужно умножать на (-1)ⁿ. На основании этого положения в двухмерном и трехмерном случаях для автокорреляционных функций получим

(3.87)

где B(τ) и Bⁿ(τ) - автокорреляционные функции исходной аномалии и аномалии n-й вертикальной производной (здесь учтено, что в выражение B(τ) глубина залегания аномального тела входит в виде 2h).

В двухмерном случае из-за равенства автокорреляционных функций аномалий горизонтальных и вертикальных производных следует, что

 (3.88)

Усреднение и применение вычислительных схем

При усреднении (например, по двум точкам, на отрезке профиля, по окружности, по площади круга) также верно равенство

|Ф(u,v)|² = Ф²(u,v).

Поэтому во всех этих случаях для получения корреляционной функции усредненной соответствующим образом аномалии необходимо корреляционную функцию исходной аномалии усреднить дважды.

Вывод о применении трансформации дважды относится и к преобразованиям с помощью различных вычислительных схем, основанных на усреднении по точкам или по окружности. Полученные соотношения в двухмерном и трехмерном случаях позволяют определить автокорреляционные функции и энергетические спектры трансформированных аномалий через автокорреляционную функцию и энергетический спектр одной исходной аномалии, минуя процесс самой трансформации. Приведенными равенствами широко пользуются на практике (см., например, работы К.В. Гладкого, В.Н. Глазнева, В.Н. Луговен-ко и других исследователей).

Расчётная часть

Возьмём нормированную автокорреляционную функцию погрешностей наблюдений. Рассмотрим ёе поведение для радиуса корреляции погрешностей наблюдений r = Δx, для r > Δx.

1. Радиус корреляции погрешностей r = Δx.

B_н(t)=exp[-(t / d)²],

Рассматриваем для значений d = 1, 5, 10.

График изменения автокорреляционной функции при различных d

B_н(t)=exp[-t / d₁],

Рассматриваем для значений d = 1, 5, 10.

График изменения автокорреляционной функции при различных d

2. Радиус корреляции погрешностей r > Δx.

B_н(t) = exp(-αt)cosβt; где α = 0,80 / r, β = π / 2r;

Рассматриваем для значений r = 1, 5, 10.

График изменения автокорреляционной функции при различных r

Заключение

С помощью графиков можно судить о поведении значений автокорреляционной функции. Очевидно, что при малых d функции для аномалий более пологие. Видно, что при τ = 0 функции имеют все общую точку равную 1. Графики функций для выбранных тел имеют относительное сходство.

Список литературы

1. Серкеров С. А. Спектральный анализ гравитационных и магнитных аномалий. — М.: Недра, 2002.