Навигация
Предел. Односторонний предел
46715
знаков
0
таблиц
0
изображений
10. Предел. Односторонний предел.
Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$ окрестность (х0):"xÎокрестности (x0) выполняется условие f(x)Îокрестности.
Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.
Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0)) если f(x)®A при х®х0, х>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)®A
Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.
Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)
Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=
f(x0-)=lim(x®x0)f(x)=A
Док-во
а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)® А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.
б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $ просто предел. Возьмем произвольную {xn}®х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности.
1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};
2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};
x’n®x0-o x’’n®x0+o, т.к. односторонние пределы $ и равны, то f(x‘n)®A и f(x‘‘n)®A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:
1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)®A на основании связи между сходимостью последовательностей
Пределы ф-ции на бесконечности
Два замечательных предела
Б/м ф-ции и их сравнения
Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
11. Пределы ф-ции на бесконечности
Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.
Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+¥ если " {xn} которая ®к +¥ соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+¥)f(x)=A. Совершенно аналогично с -¥.
Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x®¥ {f(xn)} сходится к А
Бесконечные пределы ф-ции
Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют.
Р-рим на премере: lim(x®o+)(1/x)
Очевидно не сущ-ет, т.к. для " {xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +¥.
Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+¥ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0.
Аналогично с -¥.
Более того символы +¥ и -¥ употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±¥,¥
12. Два замечательных предела
1) lim(x®0)sin/x=1
2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение:
lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1)
lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)
t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) => lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3)
Док-во
1)x®+¥ n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4)
Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥)
lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e
lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e
2) x®-¥. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y®+¥, при x®-¥.
lim(x®-¥)(1+1/x)^x=lim(y®+¥)(1-1/y)^-y= lim(y®+¥)((y-1)/y)^y=lim(y®+¥)(1+1/(y-1))^y=e
3) Пусть x®¥ произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к ®¥ мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x®¥)(1+1/xn)^xn=e (5)
Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}®+¥,
{x‘‘n}®-¥. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xn®x‘nx‘‘n. По т-ме о связи
13. Б/м ф-ции и их сравнения
Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:
1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b.
2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.
3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.
4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).
Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.
Похожие работы
Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой. Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2 + l = + 2 = 7.7 (см) таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением: Вершина первого конуса имеет следующие координаты - ...
урецкий, персидский, татарский и французский языки, а также мусульманское и международное право. Целью данной работы является освещение предмета высшей математики в профессиональной деятельности военного юриста. Работа включает не только теоретические аспекты применения методов высшей математики в военной юриспруденции, но и примеры практического использования методик. 1. Характеристика ...
... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...
0 комментариев