Розв’язок моделі Леонтьєва

3. Розв’язок моделі Леонтьєва

За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці  невід’ємні: , . У цьому випадку говорять, що матриця  невід’ємна й записують . Невід’ємні компоненти заданого вектора  або .

Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей  або . Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці .

Матриця  називається продуктивною, якщо існують два вектори  і , такі, що .

Продуктивність матриці  означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.

Розглянемо умови продуктивності матриці :

1) послідовні головні мінори матриці  позитивні, тобто для кожного  виконана нерівність

;

2) матриця  невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця  й всі її елементи невід’ємні:

3) матричний ряд  збігається, причому

.

4) максимальне власне число .

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором  потрібно знайти вектор , для якого . Перепишемо систему (7) у вигляді , де  – одинична матриця. Якщо матриця  продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця  існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд . Через те, що  й , .

Особливістю матриці  в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.

4. Властивості невід’ємних матриць

Нехай  – квадратна матриця розміром  з невід’ємними елементами , ; підмножина множини  натуральних чисел . Говорять, що  ізольовано (щодо даної матриці ), якщо в матриці   при , .

Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини  означає, що галузі з номерами  під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин . Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини , може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб , , що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця  матиме вигляд

,(8)

де  й – квадратні підматриці розмірів  і  відповідно,  – .

Матриця  називається нерозкладною, якщо в множині  немає ізольованих підмножин, крім самої  і порожньої множини.

Інакше кажучи, матриця  нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).

Нерозкладність матриці  в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.

Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:

1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо -й рядок матриці  нульовий, то множина  ізольована.

2. Якщо – нерозкладна й то .

Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця  має таке власне число , що й модулі всіх інших власних чисел матриці  не перевищують ; числу  відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор , всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати .

4. Лема: нехай  – нерозкладна матриця, , , , крім того, у вектора  є нульові координати та , тоді у вектора  знайдеться додатна координата , причому .

5. Лема: якщо матриця  нерозкладна, , , то з нерівності  випливає, що , .

Похожие работы

"Нова економіка" як інноваційно-інформаційна модель економічного зростання

Скачать

40164

0

1

... й головним економічним ресурсом, що забезпечує економічне зростання і подальший розвиток. Тому в основі нової моделі економічного зростання лежать інвестиції в людський та інтелектуальний капітал, в економіку знань. Ці зусилля повинні бути підкріплені формуванням національної інноваційної системи, інформаційної економіки, сектора високих технологій. Значна роль при цьому відводиться державі. Саме ...

Імітаційна модель взаємодії підприємства з ринком

Скачать

58058

29

9

... малих об’ємів встановлюється на постійному рівні. З формули (1.7) легко отримати вираз для цього граничного значення: Висновки. В даній дипломній роботі була побудована імітаційна модель взаємодії підприємства з ринком, що дозволяє прогнозувати обсяги вироництва в будь-який момент в майбутньому. Проаналізувавши отриману модель, можна стверджувати, що прогнози отримані при ...

Економіко-математичне обґрунтування підвищення ефективності виробництва МКВП "Дніпроводоканалу"

Скачать

135325

38

7

... "Баланс" за 2007 – 2008 роки (додаток В); -          форма № 2 "Звіт про фінансові результати" за 2007 – 2008 роки (додаток Г). 3 Підвищення ефективності виробництва МКВП "Дніпроводоканал" на підставі методів Економіко-математичного моделювання У грудні 2008 року Дніпропетровський міськвиконком та комунальне Підприємство "Дніпроводоканал", яке знаходиться у власності м. Дніпропетровська ...

Державна інвестиційно-інноваційна політика

Скачать

72578

2

4

... ринок. Водночас, населення продовжує нарощувати заощадження у банківській системі, надаючи перевагу гривневим вкладенням, та будувати житло. [8] 2. Державна інноваційна політика 2.1. Державне регулювання інноваційної діяльності в Україні Державне регулювання інноваційної діяльності в Україні здійснюється відповідно до Постанови Верховної Ради України "Про концепцію науково-технологі ...