Мономиальные динамические системы

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

Кафедра дискретной математики

и информационных технологий

Курсовая работа МОНОМИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Студента 4 курса факультета КНиИТ

дневного отделения

Научный руководитель

доцент, к.ф.-м.н. Л.Б. Тяпаев

Зав. Кафедрой ДМиИТ

доцент, к.ф.-м.н. Л.Б. Тяпаев

Саратов 2010
СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Конечные динамические системы

1.2 Сокращение мономиальных систем

1.3 Линейные системы над конечными коммутативными кольцами.

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшая проблема в теории динамических систем заключается в том, чтобы связать структуру системы с её динамикой. В данной курсовой работе рассматривается такая связь для семейства нелинейных систем над произвольными конечными областями. Для систем, которые могут быть описаны мономами, можно получить информацию о конечной циклической структуре для структуры мономов. В частности, курсовая работа содержит достаточное условие для мономиальных систем, имеющих только фиксированные элементы, в качестве конечных циклов. Условие позволяет уменьшить проблему изучения Булевых мономиальных систем и линейных систем над конечными кольцами.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

1.1 Конечные динамические системы

Конечные динамические системы – динамические системы с конечным набором состояний в дискретном времени. Широко известны примеры использование клеточного автомата и Булевой сети, они нашли широкое применение в машиностроении, в компьютерных науках, и, ещё раньше, в биологической статистике. Чаще общие многопозиционные системы используются в теории управления, в проектировании и анализе компьютерного моделирования. Основной математический вопрос, который обычно возникает в большинстве из этих наук – как анализировать динамику модели без фактического перечисления всех состояний переходов, так как перечисление имеет экспоненциальную сложность в количестве переменных в модели.

Для ответа на поставленный вопрос, обозначим конечную динамическую систему как функцию , где  – конечный набор. Динамика  заключается в повторении  и кодируется в его фазовом пространстве , которое является ориентированным графом определённым следующим образом. Вершина  – элемент из . Существует ориентированная дуга  в  если . В частности, допустима ориентированная дуга в саму себя. То есть  кодирует все состояния переходов , и имеет свойство: для каждой вершины имеется полустепень исхода точно равная 1. Каждый компонент связанного графа  состоит из направленного цикла, так называемого конечного цикла, с направленным деревом приложенным к каждой вершине в цикле, состоящем из так называемых переходов.

Любую Булеву сеть можно представить как конечную динамическую систему , где  – конечная область над двумя элементами и . В данной курсовой работе, изучаются конечные динамические системы , где  – любая конечная область и . Точнее, рассматривается семейство нелинейных конечных систем, для которых можно получить информацию относительно динамики структуры функции.

Пусть , – конечная динамическая система. Рассмотрим, как  может быть описана в зависимости от координатных функций , то есть, . Известно что любая теоретико-множественная функция  может быть представлена полиномиалом в . Этот полиномиал может быть выбран таким образом, чтобы любая переменная в нём была в степени меньшей чем . То есть, для любого  имеется уникальное , такое что  для всех . Следовательно, любая конечная динамическая система над конечной областью может быть представлена как полиномиальная система.

В случае, где все  – линейные полиномиалы без константного описания, динамику линейных систем  можно полностью определить ее матричным представлением. Пусть  – матричное представление линейной системы . Тогда количество конечных циклов и их длинна, так же как структура переходов, может быть определена разложением на множители характерной полиномиальной матрицы . Структура конечных циклов была определена ранее Элспасом, и для аффинных систем Миллиганом и Уилсоном.

В данной курсовой работе рассматривается класс нелинейных систем, описанных специальным типом полиномиалов, а именно мономами. То есть, рассматриваются системы , такие, что каждый  был полиномиалом вида , или константой. Допустимо предположение, что никакая координатная функция не константа, так как это частный случай переменной. Некоторые классы мономиальных систем и их динамические поведения изучались прежде в работах: Мономы клеточного автомата, Булевы мономиальные системы, мономиальные системы над периодическими числами и мономиальные системы над конечными областями.

В работе «Булевы мономиальные системы» изучался специальный класс Булевых мономиальных систем, а именно те, которые имеют фиксированные элементы в качестве конечных циклов, так называемые системы конечных элементов. Причиной для рассмотрения именно этого класса стало использование полиномиальных систем в качестве моделей для биохимических сетей. В зависимости от экспериментально рассматриваемой системы, такие сети часто проявляют устойчивые состояния динамики. То есть, их динамические модели имеют фазовые пространства, в которых конечные циклы – фиксированные элементы. С целью подбора модели, было бы полезно иметь структурный критерий распознания фиксированных элементов системы. Главная цель данной работы ответить на вопрос о мономиальных системах над общей конечной областью , а так же, на вопрос о связи Булевой мономиальной системы и линейной системы над кольцом .