Все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы

4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.

№	Интервалы	Частоты, mi	t1	t2	Ф(t1)	Ф(t2)	pi
1	-∞ – 2	5	-∞	-2,06	0	0,0197	0,0197
2	2–3	8	-2,06	-1,47	0,0197	0,0708	0,0511
3	3–4	19	-1,47	-0,89	0,0708	0,1867	0,1159
4	4–5	42	-0,89	-0,31	0,1867	0,3783	0,1916
5	5–6	68	-0,31	0,28	0,3783	0,6103	0,232
6	6–7	44	0,28	0,86	0,6103	0,8051	0,1948
7	7–8	21	0,86	1,45	0,8051	0,9265	0,1214
8	8–9	9	1,45	2,03	0,9265	0,9788	0,0523
9	9-∞	4	2,03	∞	0,9788	1	0,0212

Где: t₁= , t_{2 =} , a_i, b_i– границы интервала, Ф(t) – Функция распределения  нормального закона.

p_i= Ф(t₂) – Ф(t₁)

Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений:

№ интервала	pi	mi	n* pi
1 2	0,0708	13	15,57	0,4242
3	0,1159	19	25,5	1,6569
4	0,1916	42	42,15	0,0005
5	0,232	68	51,04	5,6336
6	0,1948	44	42,86	0,0303
7	0,1214	21	26,71	1,2207
8 9	0,0735	13	16,17	0,6214
∑				9,5876

Согласно расчетам, =  = 9,5876

Выбираем уровень значимости  = 0,05 и вычисляем _1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.

_0,95(7–2–1) = _0,95(4) = 9,49.

Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.

Задача 7. По данным выборки вычислить:

а) выборочное значение коэффициента корреляции;

б) на уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение

Формулируем гипотезы Н₀ и Н₁:

Н₀: a₁ = a₂

Н₁: a₁ ≠ a₂

	xi	xi-a1	(xi-a1)2	yi	yi-a2	(yi-а2)2	xi*yi
	4,40	-0,476	0,2266	3,27	-0,47	0,2209	14,388
	5,08	0,204	0,0416	4,15	0,41	0,1681	21,082
	4,01	-0,866	0,7499	2,95	-0,79	0,6241	11,829
	3,61	-1,266	1,6027	1,96	-1,78	3,1684	7,075
	6,49	1,614	2,605	5,78	2,04	4,1616	37,512
	4,23	-0,646	0,4173	3,06	-0,68	0,4824	12,944
	5,79	0,914	0,8354	4,45	0,71	0,5041	25,765
	5,52	0,644	0,4147	4,23	0,49	0,2401	23,349
	4,68	-0,196	0,0384	3,54	-0,2	0,04	16,567
	4,95	0,074	0,0055	4,01	0,27	0,0729	19,849
∑	48,76	-	6,9371	37,4	-	9,6626	190,36

a₁ =  = 4,876, a₂ =  = 3,74

 ₁ =  = 0,7708

 ₂ =  = 1,0736

n ₁ = n ₂ = n =6

а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции

=

б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:

(n-2)=2,306

Вычислим величину

=

получаем, что >0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.

Задача 8. По данным выборки найти:

а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

α	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
0.01	3,85	8,87	21,26	6,72	0,29	15,48	7,48	0,33	0,34	1,37

Решение

а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.

xi	mi	mixi	mixi2
3,85	1	3,85	14,822
8,87	1	8,87	78,677
21,26	1	21,26	451,987
6,72	1	6,72	45,158
0,29	1	0,29	0,0840
15,48	1	15,48	239,630
7,48	1	7,48	55,950
0,33	1	0,33	0,109
0,34	1	0,34	0,115
1,37	1	1,37	1,877
∑65,99	10	65,99	888,409

Математическое ожидание:

m==

Дисперсия:

δ2==

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.

Определим из таблиц значение , где ;

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:

0,271<M<12.927

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.