Модели дуополии

2. Модели дуополии

Рассмотрим базовые модели дуополии при одинаковых предпосылках. Пусть фирмы предлагают однородный продукт, зная линейную функцию рыночного спроса вида:

(1) P = a-bQ

где а, b - положительные константы; рыночный спрос Q складывается из объемов предложения первой и второй фирм (Q = q₁ + q₂ ) при цене Р.

Пусть также обе фирмы имеют равные условия по издержкам производства:

(2) ТC_i = сq_i

где с - положительная константа.

Таким образом, предельные издержки равны средним для каждого дуополиста:

 

(3) MC_i=AC_i=c

2.1 Модель Курно

Модель Курно - одна из классических моделей количественной олигополии. Аналитическая версия модели анализирует стратегическое взаимодействие фирм при нулевых предполагаемых вариациях:

(4) 0; 0

Это означает, что при решении задачи на максимум прибыли каждый дуополист рассматривает уровень выпуска конкурента как постоянный, и при данной предпосылке принимает решение об уровне своего выпуска.

Прибыли дуополистов определяются как разности между выручкой и издержками каждого из них:

 

(5) П₁=TR₁-TC₁;

(6) П₂=TR₂-TC₂

При предпосылке, что им известна функция рыночного спроса (1), получим^-

 

(7)  

(8) П₂=(a-bq₁-bq₂)q₂-cq₂

Необходимое условие максимизации прибылей дуополистов:

(9)

Примет вид:

(10)

(11)

Уравнения (10) и (11) задают линии реакции дуополистов и могут быть переписаны в виде:

(12)

(13)

Равновесие на рынке дуополии Курно определяется в результате решения (решение имеет смысл лишь при а>с) системы уравнений (12), (13):

(14)

Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

(15)

(16)

Значит, равновесные объемы выпуска q₁^* и q₂^* обеспечивают максимум прибыли для каждого дуополиста.

Равновесные уровни выпуска дуополистов Курно одинаковы в силу введенных предпосылок об однородности продукции и о равновесных условиях по издержкам производства. Они обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

(17)

при равновесной цене

(18)

что позволяет каждому дуополисту получить прибыль в размере

(19)

2.2 Модель Чемберлина

Аналитическая версия модели Э. Чемберлина основана на экономическом анализе рынка олигополии, сделанном в его монографии, опубликованной в 1956 г. В отличие от модели Курно в модели Чемберлина дуополист принимает во внимание тот факт, что уровень конкурента будет изменяться в ответ на его собственные действия. В результате дуополисты примут наиболее выгодные для себя решения, не вступая в открытый сговор.

Рассмотрим возможный алгоритм стратегических взаимодействий в дуополии Чемберлина. Предположим, что на первом шаге, для примера, первая фирма ведет себя на рынке как монополист. Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает монопольный уровень выпуска:

(20)

При этом она получит монопольную прибыль

(21)

при монопольной цене

(22)

На втором шаге вторая фирма принимает решение исходя из функции остаточного спроса на свою продукцию и предполагая, что выпуск первой фирмы не изменится. Таким образом, вторая фирма фактически принимает решение как фирма-монополист, где уравнение функции остаточного спроса имеет вид:

(23)

Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает уровень выпуска

(24)

что составляет половину монопольного выпуска первой фирмы. В результате отраслевой выпуск составит

(25)

при понижении цены до

(26)

Распределение прибыли будет не в пользу второй фирмы:

(27)

(28)

Первая фирма также окажется в проигрыше, поскольку вдвое уменьшит свою прибыль по сравнению с монопольной.

Уже на третьем шаге первая фирма осознает, что конкурент реагирует на её действия, и уменьшает свой выпуск на величину выпуска соперника, т.е. вдвое, ориентируясь на цель достижения монопольного выпуска отрасли при монопольной цене.

На четвертом шаге вторая фирма принимает условия, предложенные конкурентом, поскольку выгоднее продавать тот же объем выпуска, что и раньше, но по более высокой монопольной цене. Значит, вторая фирма оставит свой уровень выпуска без изменения. При этом дуополисты поделят рынок поровну:

(29)

и получат одинаковую прибыль

(30)

разделив монопольную прибыль между собой.

При введенных предпосылках об однородности продукции и о равных условиях по издержкам равновесие в модели Чемберлина соответствует решению задачи максимизации прибыли отдельного дуополиста при условии молчаливого раздела рынка между конкурентами.

Функция спроса примет вид:

(31)

где q₁=q₂=_q

Функции прибыли дуополистов идентичны (как и условия по издержкам):

(32)

Необходимое условие экстремума

(33)

определит равновесные уровни выпуска фирм (29). Они будут соответствовать максимуму прибыли, что следует из достаточного условия экстремума:

(34)

Таким образом, не вступая в прямой сговор, дуополисты Чемберлина могут установить на рынке монопольную цену.