Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления

4.  Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

Основные свойства функции

1.  Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения  и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

2.  Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

3.  Ограниченность. Функция  называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.

4.  Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых  из области определения функции .

Классификация функций.

1.  Обратная функция. Пусть  есть функция от независимой переменной , определенной на множестве  с областью значений . Поставим в соответствие каждому  единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве  с областью значений  называется обратной.

2.  Сложная функция. Пусть функция  есть функция от переменной , определенной на множестве  с областью значений , а переменная  в свою очередь является функцией.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции.

1.  Функция полезности и функция предпочтений – в широком смысле зависимости полезности, то есть результата, эффекта некоторого действия от уровня интенсивности этого действия.

2.  Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3.  Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от начало или потребления ресурсов.

4.  Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.

5.  Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу  поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность .

:

Числа  называются членами последовательности, а число - общим членом последовательности.

Число  называется пределом числовой последовательности , если для любого малого числа  найдется такой номер  (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно равенство .Предел числовой последовательности обозначается .

Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Число  называется пределом функции  при , если для любого малого числа  найдется такое положительное число , что для всех  таких, что  верно неравенство .

Предел функции в точке. Пусть функция  задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число  называется пределом функции  при , если для любого, даже сколь угодно малого , найдется такое положительное число (зависящий от ), что для всех  и удовлетворяющих условию  выполняется неравенство . Этот предел обозначается .

Функция  называется бесконечно малой величиной при, если ее предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых величин

1.  Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2.  Произведение бесконечен малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая

3.  Частное от деления бесконечно малой величины на функцию предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Понятие производной и дифференциала функции

Основные вопросы лекции: задачи, приводящие к понятию производной; определение производной; геометрический и физический смысл производной; понятие дифференцируемой функции; основные правила дифференцирования; производные основных элементарных функций; производная сложной и обратной функции; производные высших порядков, основные теоремы дифференциального исчисления; теорема Лопиталя; раскрытие неопределенностей; возрастание и убывание функции; экстремум функции; выпуклость и вогнутость графика функции; аналитические признаки выпуклости и вогнутости; точки перегиба; вертикальные и наклонные асимптоты графика функции; общая схема исследования функции и построение ее графика, определение функции нескольких переменных; предел и непрерывность; частные производные и дифференциал функции; производная по направлению, градиент; экстремум функции нескольких переменных; наибольшее и наименьшее значения функции; условный экстремум, метод Лагранжа.

Производной функции  называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируемая в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная  есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой  в точке .

Тогда уравнение касательной к кривой  в точке  примет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени  есть скорость точки в момент времени :

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени  есть производительность труда в момент

Теорема. Если функция  дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Производная функции  может быть найдена по следующей схеме

1.  Дадим аргументу  приращение  и найдем наращенное значение функции .

2.  Находим приращение функции .

3.  Составляем отношение .

4.  Находим предел этого отношения при, то есть  (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1.  Производная постоянной равна нулю, то есть.

2.  Производная аргумента равна 1, то есть .

3.  Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть .

4.  Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

5.  Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

Теорема. Если  и  – дифференцируемые функции от своих переменных, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть

.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть .

Эластичностью функции  называется предел отношения относительного приращения функции  к относительному приращению переменной при:

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция  при изменении независимой переменной  на один процент.

Геометрически это означает что эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями  и .

Основные свойства эластичности функции:

1.  Эластичность функции равна произведению независимой переменной  на темп изменения функции , то есть .

2.  Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

, .

3.  Эластичность взаимообратных функций – взаимно обратные величины:

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке  функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ролля. Пусть функция  удовлетворяет следующим условиям:

1)  непрерывна на отрезке ;

2)  дифференцируема на интервале ;

3)  на концах отрезка принимает равные значения, то есть .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа. Пусть функция  удовлетворяет следующим условиям

1.  Непрерывна на отрезке .

2.  Дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида  или , то

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастаетна этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Точка  называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство .

Точка  называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство .

Значения функции в точках и  называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Для того, чтобы функция  имела экстремум в точке  необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю  или не существовала.

Первое достаточное условие экстремума. Теорема.

Если при переходе через точку  производная дифференцируемой функции  меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, – то точка минимума.

Схема исследования функции  на экстремум.

1.  Найти производную .

2.  Найти критические точки функции, в которых производная  или не существует.