Расчёт электрической цепи постоянного тока с одним источником ЭДС

12 Расчёт электрической цепи постоянного тока с одним источником ЭДС

 

Метод эквивалентных преобразований (МЭП).

Рассмотрим электрическую цепь рис.1.13(а).

Электрические сопротивления всех резисторов и ЭДС источника. Требуется определить токи во всех ветвях. Такие задачи решаются методом эквивалентных преобразований:

Рис.1.13

На первом этапе в этом методе исходную схему рис.1.13(а) сворачивают к эквивалентной рис.1.13(б), заменяя параллельно соединённые ветви одной эквивалентной ветвью:

, где

Из сравнения схем рис.1.13(б) и рис.1.13(в) следует, что:

, где

На втором этапе определяются токи в ветвях переходом от схемы (в) к схеме (б) и далее к исходной схеме (а).

Из рис.1.13(в) следует, что:

Из схемы рис.1.13(б) следует, что:

 Тогда ;

Из рис.1.13(а) :

; ; .

13. Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками ЭДС

 

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа(ПЗК)

Законы Кирхгофа наиболее общие универсальные законы, описывающие решение электрической цепи. Эти законы применимы к расчёту решения электрической цепи любой сложности.

Пусть, к примеру, задана электрическая цепь рис.1.14, в которой 5 ветвей (N b=5),4 узла ( Ny=4).

Рис 1.14

Число уравнений, которое потребуется составить, по закону Кирхгофа равно числу неизвестных токов, т.е. необходимо составить 6 уравнений.

Последовательность решения задачи:

- Производится разметка схемы, т.е. обозначаются узлы буквами (или цифрами) и указываются (стрелками и буквами) положительное направление токов в ветвях;

- По первому закону Кирхгофа составляется Ny-1- уравнение;

- По второму закону Кирхгофа составляется Nb-(Ny-1)- уравнение.

В результате получается система из Nb -уравнений относительно токов в ветвях, решив которую находят величину и действительное направление всех токов .Отрицательное значение тока в какой-либо ветви свидетельствует о том, что истинное его направление противоположно указанному на схеме.

Для схемы рис.1.14 система уравнений по законам Кирхгофа имеет вид:

Узел а: I1-I2-I3=0

Узел b: -I1+I2+I3=0

Узел c: I3-I5-I6=0 (1.1.34)

Контур R1,R2,E1,R02: I1(R1+R01)+I2R2=E1

Контур R2,R3,R5,R4: I3R3+I5R5+I4R4-I2R2=0

Контур R5,R6,R02,E2: -I5R5+I6(R6+R02)=-E2

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа для определения знаков слагаемых используются заранее выбираемые направления обхода каждого контура(указываются дугами рис.1.14).

6. Знак, перед ЭДС или перед произведением, IR берётся положительный, если направление ЭДС Е или тока I совпадает с выбранным направлением обхода контура.

Метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет сократить число совместно решаемых уравнений до числа независимых контуров в схеме электрической цепи

Nk= Nb- (Ny-1).В этом методе, уравнения по второму закону Кирхгофа составляются относительно контурных токов, равных по величине токам во внешних ветвях каждого контура.

Последовательность решения задачи:

- Производится разметка схемы;

- Задаются(дугами) положительные направления контурного тока в каждом из независимых контуров, обозначив эти токи буквами с двойными индексами I11,I22.

- Задаются направления обхода в каждом контуре и записывают систему уравнений по второму закону Кирхгофа, учитывая падение напряжения в смежных ветвях (входящих одновременно в два контура) от контурных токов соседних контуров;

Решают систему уравнений относительно контурных токов и определяют далее токи в ветвях, алгебраически суммируя контурные токи в каждой ветви.

Проиллюстрируем метод контурных токов (МКТ) для схемы рис. 1.15.

Рис.1.15

В схеме три независимых контура Nk = 3, для которых вводим контурные токи I11,I22,I33.

Система уравнений имеет вид :

 (1.1.35)

Подставив заданные значения сопротивлений резисторов и ЭДС источников, и вычислив контурные токи, определяют токи в ветвях:

I1=I11; I2 = I22 - I11; I3=I33; I4=I22 ; I3 = I22 – I33; (1.1.36)

При записи уравнений, знаки ЭДС Е и при произведениях IR берутся положительными при совпадении направлений ЭДС и токов с направлением обхода контура.

Метод условных потенциалов (МУП)

Если в схеме много ветвей и контуров, но мало узлов, то целесообразно решить задачу методом узловых потенциалов, число уравнений в котором равно Ny – 1. Все уравнения в этом методе составляются только по первому закону Кирхгофа.

Рассмотрим частично случай этого метода, когда в электрической цепи только два потенциальных узла, либо когда схема может быть преобразована к эквивалентной цепи с двумя узлами.

Последовательность решения задачи:

Исходную схему преобразуют к эквивалентной с двумя узлами, применяя переход от соединения треугольником, например, к соединению резисторов эквивалентной звездой;

Исходную и эквивалентную (преобразованную) схемы размечают (буквами или цифрами – узлы и буквами – токи в ветвях);

Потенциал одного из двух узлов в преобразованной схеме принимают равный нулю и записывают уравнение по первому закону Кирхгофа для незаземлённого узла (второго узла);

Так в каждой ветви схемы с двумя узлами выражают через потенциалы узлов по обобщённому закону Ома и после подстановки этих выражений в уравнение первого закона Кирхгофа получают выражение для межузлового напряжения (для определения потенциала незаземлённого узла);

Определив межузловое напряжение находят токи в ветвях преобразованной схемы, пользуясь выражениями токов, записанными по обобщённому закону Ома;

Возвращаясь к исходной схеме, по известным уже токам находят остальные токи.

Проиллюстрируем МУП на примере схемы рис.1.16.

Рис.1.16

В исходной схеме 4 узла, однако, преобразуя треугольник сопротивлений R4, R5, R6 , получаем схему рис. 1.16(б) с двумя узлами.

Применив формулы 1.30 и 1.31, получаем значения Ra, Rb, Rc :

;  ; ; (1.1.37)

Приняв, что φd =0, записываем первый закон Кирхгофа для узла С :

I1 – I2 + I3 = 0 (1.1.38)

Выражая токи I1, I2, I3 через потенциалы φd и φс по обобщённому закону Ома, получаем:

; ; ;(1.1.39)

Где ; ; ;

Подставив 1.39 в 1.38 и решив уравнение относительно φс, (с учётом того, что φd = 0), получим выражение для межузлового напряжения:

 (1.1.40)

Токи в ветвях схемы рис.(1.16б.) находим далее по формулам (1.39), а токи I4, I5, I6 в схеме рис.(1.16а) находим решив например систему уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов а; в; и с, либо определив потенциалы φа, φв, φс по соотношениям ;

; ;  (1.1.41)

При этом точки I4, I5, I6 равны

; ; ; (1.1.42)

Метод наложения (МН)

Метод наложения основан на принципе суперпозиции, согласно которому ток в каждой ветви сложенной (разветвлённой) электрической цепи с несколькими источниками эдс равен алгебраической сумме частичных токов создаваемых каждым источником эдс в отдельности, когда остальные источники эдс закорочены (т.е. отключены от схемы, а места их включения закорочены).

- Последовательность решения задачи:

- Производят разметку исходной схемы;

- Составляют вспомогательные схемы (число которых равно числу источников эдс в исходной схеме), в каждой из которых оставляют только один источник эдс и производят разметку этих схем;

- В каждой вспомогательной схеме определяют токи во всех ветвях (обозначив их штрихами например);

- Токи в исходной схеме определяют алгебраическим суммированием частичных токов в соответствующих ветвях. При этом с плюсом берут те токи, которые совпадают по направлению с током в исходной схеме.

Продемонстрируем метод на примере схемы рис.