Значения парных коэффициентов корреляции найдем из соответствующей матрицы

3. Значения парных коэффициентов корреляции найдем из соответствующей матрицы.

Таблица №10 Корреляционная матрица

	y	x1	x2
y	1
x1	0,784786247	1
x2	0,60206001	0,531178469	1

По величине парных коэффициентов корреляции может обнаруживаться лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга.

Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Частные коэффициенты корреляции найдем по формулам

,

,

их значения показывают, что при отсутствии влияния других факторов, связь с рассматриваемым фактором усиливается т.е. мультиколлинеарность между ними существует.

4. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 110% их максимального значения. Найдем прогнозные значения факторов и подставим их в полученное уравнение регрессии.

По условию прогнозные значения составляют 110% их максимального значения.

Таблица №11

maxX1	maxX2
28	10

Далее вычисляем прогнозные значения факторов: . Затем, подставив эти значения в уравнение регрессии, получим прогнозное (предсказанное) значение фактора . Доверительный интервал прогноза оценивается формулой: , где  - ошибка прогноза,стандартная ошибка регрессии.

Таблица №12

Стандартная ошибка

1,104878833

;

 - коэффициент Стьюдента, который в данном случае имеет смысл кратности случайной (стандартной) ошибки прогноза ;

 - число, которое получим в результате операций над матрицами:

 -

матрица значений факторных переменных ,

 транспонированная матрица ;

 - произведение матриц ;

 - матрица, обратная к матрице ;

 - матрица прогнозных значений факторов;

 - транспонированная матрица прогнозов.

Фактор представляет собой фиктивную переменную, которую необходимо ввести в уравнение регрессии для того, чтобы преобразовать его в "приведенную" форму вида .

Максимальную ошибку прогноза =11,07714043: 1) нижняя граница прогноза =44,92285957, 2) верхнюю границу прогноза =67,07714043. Интервал прогнозных значений результативного признака

=>

Задача № 3

Используя данные, представленные в таблице проверить наличие гетероскедастичности, применяя тест Голдфельда-Квандта.

 

Таблица№13. Данные

Страна	Индекс человеческого развития, У	Расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП, Х
Австрия	0,904	75,5
Австралия	0,922	78,5
Англия	0,918	84,4
Белоруссия	0,763	78,4
Бельгия	0,923	77,7
Германия	0,906	75,9
Дания	0,905	76,0
Индия	0,545	67,5
Испания	0,894	78,2
Италия	0,900	78,1
Канада	0,932	78,6
Казахстан	0,740	84,0
Китай	0,701	59,2
Латвия	0,744	90,2
Нидерланды	0,921	72,8
Норвегия	0,927	67,7
Польша	0,802	82,6
Россия	0,747	74,4
США	0,927	83,3
Украина	0,721	83,7
Финляндия	0,913	73,8
Франция	0,918	79,2
Чехия	0,833	71,5
Швейцария	0,914	75,3
Швеция	0,923	79,0

1) Найдем параметры линейного уравнения множественной регрессии и значения остатков.

Определим остаточные суммы квадратов  и , то есть суммы квадратов остатков регрессии по "урезанным выборкам".

Таблица№14

№	Y	X	Yp	ei	(ei) ^2
1	0,932	78,6	77,90431365	0,695686352	0,483979501
2	0,927	67,7	77,85057558	-10,15057558	103,0341846
3	0,927	83,3	77,85057558	5,44942442	29,69622651
4	0,923	77,7	77,80758513	-0,107585125	0,011574559
5	0,923	79,0	77,80758513	1, 192414875	1,421853234
6	0,922	78,5	77,79683751	0,703162488	0,494437485
7	0,921	72,8	77,7860899	-4,986089898	24,86109247
8	0,918	84,4	77,75384706	6,646152943	44,17134894	S1
9	0,918	79,2	77,75384706	1,446152943	2,091358334	206,2660556
10	0,914	75,3	77,7108566	-2,410856603	5,812229559
11	0,913	73,8	77,70010899	-3,900108989	15,21085013
12	0,906	75,9	77,62487569	-1,724875694	2,975196159
13	0,905	76,0	77,61412808	-1,61412808	2,60540946
14	0,904	75,5	77,60338047	-2,103380467	4,424209388
15	0,900	78,1	77,56039001	0,539609988	0,291178939
16	0,894	78,2	77,49590433	0,704095669	0,495750712
17	0,833	71,5	76,8402999	-5,3402999	28,51880303
18	0,802	82,6	76,50712388	6,092876121	37,12313943
19	0,763	78,4	76,08796695	2,312033052	5,345496834
20	0,747	74,4	75,91600513	-1,51600513	2,298271555
21	0,744	90,2	75,88376229	14,31623771	204,9546622
22	0,740	84,0	75,84077183	8,159228165	66,57300425
23	0,721	83,7	75,63656718	8,063432824	65,0189489
24	0,701	59,2	75,4216149	-16,2216149	263,1407901	S2
25	0,545	67,5	73,74498718	-6,244987181	38,99986489	743,7878055

1)  Находим наблюдаемое значение критерия . По условию задачи . Из таблицы значений  Фишера находим, что  

Вывод: отвергаем нулевую гипотезу  на принятом уровне значимости , т.к. наблюдаемое значение критерия больше табличного.

Следовательно, предположение об однородности дисперсий ошибок, при условии, что выполнены стандартные предположения о модели наблюдений, включая предположение о нормальности ошибок, неверно. Наблюдается гетероскедастичность, что приводит к ошибочным статистическим выводам при использовании МНК. Следовательно, полученные оценки не являются состоятельными.

Задача № 4

По данным таблицы построить уравнение регрессии, выявить наличие автокорреляции остатков, используя критерий Дарбина - Уотсона, и проанализировать пригодность полученного уравнения для построения прогнозов.

 

Таблица №15

Год	Выпуск продукции в США в среднем за 1 час, % к уровню 1982 г., Х	Среднечасовая заработная плата в экономике США, в сопоставимых ценах 1982 г., Y
1960	65,6	6,79
1961	68,1	6,88
1962	73,3	7,07
1963	76,5	7,17
1964	78,6	7,33
1965	81,0	7,52
1966	83,0	7,62
1967	85,4	7,72
1968	85,9	7,89
1969	85,9	7,98
1970	87,0	8,03
1971	90,2	8,21
1972	92,6	8,53
1973	95,0	8,55
1974	93,3	8,28
1975	95,5	8,12

Найдем параметры линейного уравнения множественной регрессии и значения остатков.

Дополним таблицу данных столбцами "", "Квадрат разности остатков " и "Квадрат остатка " и заполним их.

Таблица №16

Y	X	Yi	et	et-1	(et-et-1) ^2	et^2
6,79	65,6	6,667235239	0,122765			0,015071
6,88	68,1	6,815288112	0,064712	0,122765	0,003370136	0,004188
7,07	73,3	7,123238088	-0,05324	0,064712	0,013912197	0,002834
7,17	76,5	7,312745766	-0,14275	-0,05324	0,008011624	0,020376
7,33	78,6	7,437110179	-0,10711	-0,14275	0,001269895	0,011473
7,52	81,0	7,579240937	-0,05924	-0,10711	0,002291464	0,003509
7,62	83,0	7,697683236	-0,07768	-0,05924	0,000340118	0,006035
7,72	85,4	7,839813994	-0,11981	-0,07768	0,001775001	0,014355
7,89	85,9	7,869424568	0,020575	-0,11981	0,019709191	0,000423
7,98	85,9	7,869424568	0,110575	0,020575	0,008100000	0,012227
8,03	87,0	7,934567833	0,095432	0,110575	0,000229318	0,009107
8,21	90,2	8,12407551	0,085924	0,095432	0,000090396	0,007383
8,53	92,6	8,266206268	0,263794	0,085924	0,031637467	0,069587
8,55	95,0	8,408337026	0,141663	0,263794	0,014915922	0,020068
8,28	93,3	8,307661073	-0,02766	0,141663	0,028670633	0,000765
8,12	95,5	8,437947601	-0,31795	-0,02766	0,084266268	0,101091
				Суммы	0,218589631	0,298494

По формуле вычислим значение статистики :

Так как , то значение статистики

равно .

По таблице критических точек Дарбина Уотсона определим значения критерия Дарбина-Уотсона  (нижнее) и  (верхнее) для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . Итак, находим, что , .

По этим значениям числовой промежуток  разбиваем на пять отрезков:

,

,

,

,

.

На основании выполненных расчетов находим, что наблюдаемое значение статистики принадлежит первому интервалу.

Вывод: существует отрицательная автокорреляция, то есть гипотеза отклоняется и с вероятностью  принимается гипотеза .

Следовательно, полученное уравнение регрессии не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины. Автокорреляция в остатках может означать, что в уравнение не включен какой-либо существенный фактор. Возможно также, что форма связи неточна.

Задача № 5

В таблице приводятся данные о динамике выпуска продукции Финляндии (млн. долл.).

Таблица №17

Год	Выпуск продукции, yt млн.долл.
1989	23 298
1990	26 570
1991	23 080
1992	29 800
1993	28 440
1994	29 658
1995	39 573
1996	38 435
1997	39 002
1998	39 020
1999	40 012
2000	41 005
2001	39 080
2002	42 680

Задание:

1.  Постройте график временного ряда.

2.  Сделайте вывод о присутствии или отсутствии тренда при доверительной вероятности 0,95.

3.  Найдите среднее значение, среднеквадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов ) заданного ВР.

4.  Проведите сглаживание данного ВР методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания ;

5.  Найдите уравнение тренда ВР , предполагая, что он линейный, и проверьте его значимость на уровне .