Классические примеры решения некоторых типовых задач

3. Классические примеры решения некоторых типовых задач

Пример 1

Чему равен момент инерции  цилиндра с диаметром основания d и высотой Н относительно оси  совпадающей с его образующей? Плотность материала цилиндра .

Дано:

d;

Н;

.

  ?

Рис. 2

Решение: Согласно теоремы Штейнера момент инерции цилиндра  относительно оси  равен сумме его момента инерции  относительно оси симметрии , проходящей через центр цилиндра С, и произведения массы цилиндра  на квадрат расстояния  между осями  и :

.(1)

Момент инерции цилиндра  относительно оси  определяется формулой , где , поэтому

.(2)

Массу цилиндра выразим через его плотность  и объем :

, где , поэтому ; площадь основания цилиндра  и, следовательно,

.(3)

Расстояние между осями  и  . (4)

Подставив (2), (3) и (4) в (1), получаем

+

Пример 2

Два маленьких шарика массой 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной 20 см. Определить момент инерции  системы, относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Дано:

10 г10^{-2 кг;}

20 см0,2 м.

?

Рис. 3

Решение: Общий момент инерции, проходящий через центр масс системы (точка С) равен сумме моментов инерции двух материальных точек массой  каждая и вращающихся вокруг оси  на расстоянии .

 2^.10^{-4 кг}м².

Пример 3

Найти момент инерции  плоской однородной прямоугольной пластины массой 800 г относительно оси, совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороны равна а30 см.

Дано:

800 г0,8 кг;

а30 см0,3 м.

 ?

Рис. 4

Решение: Найдем момент инерции пластины относительно оси . Для этого разобьем пластину на бесконечно малые участки массой  (один из них выделен на рис. 4).

,(1)

где  - поверхностная плотность пластины;

 - площадь пластины.

Так как участок массой  можно считать материальной точкой, то момент инерции этого участка относительно оси

.(2)

После подстановки выражения (1) в (2) получаем

.(3)

Складывая моменты инерции всех участков, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до а:

.(4)

Подставив численные значения, найдем

2,410^{-2 кг}м².

Пример 4

Обруч массой 1 кг и радиусом  0,2 м вращается равномерно с частотой 3 с^-1 относительно оси , проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча .

Дано:

1 кг;

 0,2 м;

3 с^-1.

 ?

Рис. 5

 

Решение: Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции этого тела  и его угловой скорости :

.(1)

Момент инерции обруча относительно оси  по теореме Штейнера равен сумме момента инерции этого обруча  относительно оси , проходящей через его центр С, и произведения массы обруча  на квадрат расстояния  между осями  и , которое, как следует из рисунка, равно

:

,(2)

где . (3)

Угловая скорость  обруча связана с его частотой вращения  соотношением

.(4)

Подставив выражение (2), (3) и (4) в (1), получаем

0,94 кгм²с^-1.

Пример 5

Вал в виде сплошного цилиндра массой 12 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 4 кг. С каким ускорением а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?

Рис. 6

Дано:

12 кг;

4 кг;

10 м/с².

____________

а  ?

Решение: Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением  вала соотношением

,(1)

где  радиус вала. Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

,(2)

где  вращающий момент, действующий на вал;  - момент инерций вала.

Рассмотрим вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен

.(3)

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения нити Т шнура на радиус вала:

.(4)

(Учитывая, что шнур невесомый и нерастяжимый, ).

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: силы тяжести , направленная вниз, и сила натяжения  шнура, направленная вверх; равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона , откуда

.(5)

Таким образом, вращающий момент равен

.(6)

Подставив в (2) выражения (3) и (6), получаем

.(7)

Ускорение гири найдем из (1) после подстановки туда выражения (7) , откуда

 4 м/с².

Пример 6

Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени даётся уравнением  где С=2 рад/с². Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения 1 Нм. Определить величину касательной силы , приложенной к ободу диска.

Дано:

0,2 м;

5 кг;

;

С=2 рад/с²;

1 Нм.

 ?

Рис. 7

Решение: Касательная сила , приложенная к ободу диска, создает вращающий момент сил , который по определению момента сил равен произведению величины этой силы  и её плеча; плечом силы  в нашем случае является радиус диска, поэтому

.(1)

Вращающему моменту сил  противодействует момент сил трения .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения произведение момента инерции диска  и его углового ускорения  равно векторной сумме моментов сил, приложенных к диску относительно центра вращения тч. О.

(2)

Поскольку векторы моментов сил  и  антинаправлены (в чём можно убедиться, используя правило правого винта), то в проекциях на ось ОХ этот закон примет вид

.(3)

Момент инерции диска относительно оси вращения определяется по формуле

.(4)

Угловое ускорение диска найдем как вторую производную угла поворота диска по времени:

, .(5)

Решая совместно (1) – (5), получаем

.(6)

После подстановки в (6) численных значений

7 Н.

Пример 7

Вследствие действия приливов продолжительность суток на Земле увеличивается за время 100 лет на 10^-3 с. Определите приливную силу трения. Землю считать однородным шаром массой 610²⁴ кг и радиусом 6,410⁶м.

Дано: