Прямое и обратное преобразование Фурье

3. Прямое и обратное преобразование Фурье

При  

- прямое преобразование Фурье

- обратное преобразование Фурье.

Комплексная функцияимеет смысл спектральной плотности, ее иногда называют непрерывным спектром Фурье-функции f(t).

Также как и в случае периодической функции, предполагается, что f(t) удовлетворяет условиям Дирихле или, что эквивалентно, абсолютно интегрируема и удовлетворяет условию Дини.

Отметим также, что:

4. Дискретное вейвлет-преобразование

Представление функции f(t) через ее непрерывное вейвлет – преобразование является избыточным. В задачах обработки информации, встречающихся на практике, сигнал, во-первых, имеет ограниченную полосу и, во-вторых, допускаются те или иные погрешности в получаемых результатах. Поэтому используют дискретное представление непрерывных сигналов, при которых параметры преобразования, в данном случае a и b, приобретают дискретные значения. Вейвлет-преобразование, при котором значения a и b дискретны, называют дискретным вейвлет-преобразованием (DWT - Discrete Wavelet Transform).

4.1 Дискретизация масштаба

Рассмотрим сначала случай дискретного масштаба a и положим . Это равноценно разбиению частотной оси на поддиапазоны (частотные полосы). Предположим, что  (это можно сделать всегда, умножив функцию ψ на некоторый модуляционный множитель  (см.). Тогда частотное окно будет равно:

а центральная частота m-го вейвлета:

.

Базисом для DWT является функция, полученная из

()

при :

.

Если справедливо и если достаточно быстро затухает, то любая функция из L₂ может быть представлена в виде дискретной по  последовательности

(3.5.2.)

Для восстановления f(t) по дискретным значениям (3.5.2.) на базис (t) налагаются дополнительные ограничения, а именно, образ Фурье вейвлета (t) должен удовлетворять соотношению

, (3.5.3)

где константы А и В такие, что . Условие (3.5.3.) в терминах радиотехники имеет довольно прозрачное толкование. Действительно, так как при каждом значении масштаба  вейвлет представляет собой полосовой фильтр, то набор (сумма) этих фильтров (блок фильтров) является некоторым устройством с неравномерной частотной характеристикой, определяемой константами A и B (рис. 3.12). Сигнал, например звуковой, на выходе такого устройства при сильной неравномерности частотной характеристики претерпевает существенные искажения. Поэтому для его восстановления принимают специальные меры, в частности, устанавливают фильтр, компенсирующий искажения частотной характеристики. В вейвлет-преобразовании таким фильтром является дуальный (или двойственный) вейвлет , Фурье-образ которого имеет вид:

. (3.5.4.).

Покажем, что с помощью такого вейвлета по коэффициентам DWT полностью восстанавливается сигнал. Действительно, используя соотношение Парсеваля

()

и формулу получим (3.5.4.):

Из (3.5.4.) и (3.5.3.) можно показать, что