Свойства степенных рядов

2. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.

.

Приведем несколько свойств функции .

Свойство 1. Функция  является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2. Функция  дифференцируема на интервале , и ее производная  может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

,

для всех .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции  для всех  может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

для всех .

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала  может измениться.

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).

Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд

.

Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .

Почленно продифференцируем этот ряд:

.(2.1)

По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .

Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при  и при .

При  степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

 .

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости : , который не существует.

При  степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

 ,

который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .

 

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

Пусть  – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки , т. е. имеет производные любых порядков.

Определение 3.1. Рядом Тейлора функции  в точке  называется степенной ряд

. (3.1)

В частном случае при  ряд (3.1) называется рядом Маклорена:

. (3.2)

Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции  в окрестности точки  совпадает с функцией ?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции  сходится, однако его сумма не равна .

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции  к этой функции.

Теорема 3.1:

если в интервале  функция  имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. , то ряд Тейлора этой функции сходится к  для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство

 

.

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.